Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
xx ve yy birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡2(x⋅y)=5\log_2(x \cdot y) = 5
log⁡x2+log⁡y2=56\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 136\frac{13}{6}Cevap
  2. B
    174\frac{17}{4}
  3. C
    265\frac{26}{5}
  4. D
    52\frac{5}{2}
  5. E
    256\frac{25}{6}

Cevap

İstenen ifadenin değeri on üç bölü altı olarak bulunur.
Verilen denklemlerde çarpım özelliği ve taban değiştirme kuralları uygulandığında log⁡2x+log⁡2y=5\log_2 x + \log_2 y = 5 ve 1log⁡2x+1log⁡2y=56\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6} elde edilir. Buradan log⁡2x⋅log⁡2y=6\log_2 x \cdot \log_2 y = 6 bulunur. Toplamları 55, çarpımları 66 olan sayılar 22 ve 33 olduğundan, aranılan ifade 32+23=136\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde çarpımın logaritması özelliğini uygulayalım.
log⁡2x+log⁡2y=5\log_2 x + \log_2 y = 5
Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir: log⁡a(bc)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c.
2
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanalım.
1log⁡2x+1log⁡2y=56\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}
Taban değiştirme kuralına göre log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliğinden faydalanarak ifadeleri ortak tabana getiririz.
3
log⁡2x=u\log_2 x = u ve log⁡2y=v\log_2 y = v değişken değiştirmesini uygulayarak denklem sistemini çözelim.
u+v=5u + v = 5
1u+1v=u+vuv=56  ⟹  5uv=56  ⟹  uv=6\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv} = \frac{5}{6} \implies \frac{5}{uv} = \frac{5}{6} \implies uv = 6
Değişken değiştirme yöntemi, denklem sistemini daha kolay çözülebilir bir hale getirir.
4
Toplamları 55, çarpımları 66 olan uu ve vv değerlerini bulalım.
{u,v}={2,3}\{u, v\} = \{2, 3\}
t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 33'tür.
5
İstenen ifadeyi taban değiştirme özelliği yardımıyla uu ve vv cinsinden yazıp hesaplayalım.
log⁡xy+log⁡yx=log⁡2ylog⁡2x+log⁡2xlog⁡2y=vu+uv\log_x y + \log_y x = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} + \frac{\log_2 x}{\log_2 y} = \frac{v}{u} + \frac{u}{v}

u=2u=2 ve v=3v=3 değerleri için:
32+23=9+46=136\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6}
Taban değiştirme kuralı yardımıyla aranılan ifadeyi bilinen değişkenler cinsinden ifade eder ve sonucu buluruz.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru