\log_3 (x-2) + \frac{1}{\log_{x+4} 3} = 3 \neşitliğini sağlayan x gerçel sayısı kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_3 (x-2) + \frac{1}{\log_{x+4} 3} = 3

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı kaçtır?

Cevap: 5

Denklemi sağlayan

x

gerçel sayısı 5'tir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla

\frac{1}{\log_{x+4} 3}

ifadesi

\log_3 (x+4)

şeklinde yazılır. Denklemin sol tarafı

\log_3 [(x-2)(x+4)]

haline getirilir. Logaritma tanımı gereği

(x-2)(x+4) = 27

olur. Bu denklemin kökleri

5

-7

olarak bulunur. Ancak logaritma fonksiyonunun tanım kümesinden dolayı logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır (

x > 2

). Bu nedenle yalnızca

5

değeri denklemi sağlar.

Taban değiştirme özelliğini uygulayın.

\frac{1}{\log_{x+4} 3} = \log_3 (x+4)

elde edilir.

Logaritmik ifadeleri ortak 3 tabanında birleştirmek amacıyla

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliği kullanılır.

Logaritma toplam özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirin.

\log_3 (x-2) + \log_3 (x+4) = \log_3 ((x-2)(x+4)) = 3

olur.

Aynı tabana sahip logaritmaların toplamı, argümanlarının çarpımına eşittir:

\log_a y + \log_a z = \log_a (y \cdot z)

Logaritma tanımını kullanarak ifadeyi üstel denkleme dönüştürün.

(x-2)(x+4) = 3^3 \Rightarrow (x-2)(x+4) = 27

olur.

\log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b

logaritma tanımı uygulanır.

Denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.

x^2 + 2x - 8 = 27 \Rightarrow x^2 + 2x - 35 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+7) = 0

elde edilir. Buradan kökler

x = 5

x = -7

bulunur.

İkinci dereceden denklemin çözüm kümesini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu denetleyin.

x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4

olmalıdır. Dolayısıyla

x = -7

değeri elenir ve geriye sadece

x = 5

kalır.

Logaritmanın argümanı her zaman sıfırdan büyük olmak zorundadır.

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri

Soru