Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu kapalı aralık, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.
Buna göre,
I. ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı 22'dir.
II. ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann üst toplamı 1010'dur.
III. ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x) \, dx belirli integralinin değeri, PP bölüntüsüne göre Riemann orta toplamından büyüktür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

I, II ve III (yani tüm ifadeler doğrudur)
Verilen üç öncül de doğru hesaplanmıştır. Riemann alt toplamı 22, Riemann üst toplamı 1010 ve belirli integralin değeri (5255{}25), Riemann orta toplamından (48754{}875) büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyelim.
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) elde edilir. İşaret tablosuna göre, x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığında f′(x)≤0f'(x) \le 0 olduğundan fonksiyon azalandır. x∈[2,3]x \in [2, 3] aralığında ise f′(x)≥0f'(x) \ge 0 olduğundan fonksiyon artandır.
Riemann alt ve üst toplamlarında hangi noktada en küçük veya en büyük değerin alınacağın�� bulmak için fonksiyonun artan/azalanlık analizi gereklidir.
2
[0,3][0, 3] aralığını 33 eş alt aralığa bölerek her aralık için sınır değerlerini yazalım.
Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] olup her birinin genişliği Δx=1\Delta x = 1'dir. [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarında fonksiyon azalan; [2,3][2, 3] aralığında ise artandır.
Bölüntünün alt aralıklarını belirlemek, Riemann toplamı hesaplamalarının temel adımıdır.
3
Riemann alt ve üst toplamlarını hesaplayalım.
Riemann alt toplamı için aralıklardaki en küçük değerler: [0,1][0, 1] aralığında f(1)=2f(1) = 2, [1,2][1, 2] aralığında f(2)=0f(2) = 0, [2,3][2, 3] aralığında f(2)=0f(2) = 0'dır. Alt toplam: A=(2+0+0)⋅1=2A = (2 + 0 + 0) \cdot 1 = 2. Riemann üst toplamı için aralıklardaki en büyük değerler: [0,1][0, 1] aralığında f(0)=4f(0) = 4, [1,2][1, 2] aralığında f(1)=2f(1) = 2, [2,3][2, 3] aralığında f(3)=4f(3) = 4'tür. Üst toplam: U=(4+2+4)⋅1=10U = (4 + 2 + 4) \cdot 1 = 10. Bu durumda I ve II. öncüller doğrudur.
Riemann alt ve üst toplam tanımlarını kullanarak öncüllerin doğruluğunu test ederiz.
4
Belirli integral ile Riemann orta toplamını hesaplayıp karşılaştıralım.
Belirli integral değeri: ∫03(x3−3x2+4) dx=[x44−x3+4x]03=525\int_0^3 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 4x \right]_0^3 = 5{}25 bulunur. Riemann orta toplamı için orta noktalar 050{}5, 151{}5 ve 252{}5 alınır. Orta toplam: O=f(05)⋅1+f(15)⋅1+f(25)⋅1=3375+0625+0875=4875O = f(0{}5) \cdot 1 + f(1{}5) \cdot 1 + f(2{}5) \cdot 1 = 3{}375 + 0{}625 + 0{}875 = 4{}875 olur. 525>48755{}25 > 4{}875 olduğundan integral değeri orta toplamdan büyüktür. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.
Belirli integralin değeri ile Riemann orta toplamının sayısal değerlerini karşılaştırarak son öncülün doğruluğunu kontrol ederiz.

Anahtar Kavram

Riemann Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Alternatif Yöntem

Riemann orta toplamı hesaplanırken her aralıktaki orta noktaların görüntüleri tek tek hesaplanıp toplanır. Parabolik ve kübik fonksiyonların simetri özellikleri veya integral alan yaklaşımları kullanılarak da kabaca bir kıyaslama yapılabilir ancak kesin sonuç için sayısal hesaplama tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru