Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n ile gösterilmektedir. S_… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_6 - S_4 = 9 \cdot (S_4 - S_2)

ve $S_3 = 26$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan $S_4$ değeri kaçtır?

Cevap: 80

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S_4 değeri 80'dir.

Verilen terim toplamı farkları oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir.

S_3 = 26

bilgisi kullanılarak ilk terim

a_1 = 2

bulunur. Buradan

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + 54 = 80

sonucuna ulaşılır.

İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade etme

S_6 - S_4 = a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1 + r)

S_4 - S_2 = a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1 + r)

İlk n terim toplamı farkı, aradaki terimlerin toplamına eşittir.

Verilen denklemde ifadeleri yerine yazarak ortak çarpanı (r) bulma

r^2 = 9

ve pozitif terimli olduğu için

r = 3

a_1 r^4(1 + r) = 9 \cdot a_1 r^2(1 + r)

eşitliğinde pozitif terimlilikten ötürü

a_1(1 + r) \neq 0

olduğundan sadeleştirme yapılarak

r^2 = 9

bulunur.

S_3 toplamını kullanarak ilk terimi (a_1) bulma

a_1 = 2

S_3 = a_1(1 + r + r^2) = a_1(1 + 3 + 9) = 13 a_1 = 26

eşitliği çözülür.

İlk 4 terim toplamını (S_4) hesaplama

S_4 = 80

S_4 = S_3 + a_4 = 26 + a_1 r^3 = 26 + 2 \cdot 3^3 = 26 + 54 = 80

işlemiyle sonuca ulaşılır.

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı ve terimler arası ortak çarpan ilişkisi

Soru