Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları
Bir kimyasal deney sırasında reaksiyon kabının sıcaklığı (°C cinsinden), deneyin başlangıcından itibaren geçen süre tt (saat) olmak üzere, 0≤t≤120 \leq t \leq 12 aralığında
T(t)=a⋅t2−12a⋅t+bT(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b
parabolik fonksiyonu ile modellenmektedir.

Deneyin başlangıcında kabın sıcaklığı azalmakta olup, deney süresince sıcaklığın aldığı en küçük değer −10-10 °C, en büyük değer ise 2626 °C'dir.

Buna göre, deney süresince kabın sıcaklığının −6-6 °C olduğu iki an arasında geçen süre kaç saattir?

Cevap: 4 saat

Cevap

Kabın sıcaklığının −6-6 °C olduğu iki an arasında geçen süre 4 saattir.
Verilen bilgilere göre başlangıçta azalan bir eğilim gösteren parabolün kolları yukarı doğrudur (a>0a > 0). Bu durumda tepe noktasında (t=6t=6) en küçük değer olan −10-10 alınır. Tepe noktasına eşit uzaklıktaki uç noktalarda (t=0t=0 veya t=12t=12) ise en büyük değer olan 2626 alınır. Buradan b=26b = 26 ve a=1a = 1 bulunarak fonksiyon T(t)=t2−12t+26T(t) = t^2 - 12t + 26 olarak elde edilir. Sıcaklığın −6-6 olduğu anlar t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleri olan 44. ve 88. saatlerdir. Bu iki an arasındaki fark 4 saattir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının konumunu belirleme ve aa katsayısının işaretini saptama.
Tepe noktasının apsisi r=6r = 6 ve a>0a > 0 olarak bulunur.
T(t)=a⋅t2−12a⋅t+bT(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−−12a2a=6r = -\frac{-12a}{2a} = 6 olur. Deneyin başlangıcında (t=0t=0) sıcaklık azaldığı için, fonksiyon tepe noktasına kadar azalan olmalıdır. Bu durum ancak parabolün kolları yukarı doğru olduğunda (a>0a > 0) gerçekleşir.
2
En büyük ve en küçük değerlerin fonksiyon üzerindeki yerlerini belirleme.
En küçük değer T(6)=−10T(6) = -10, en büyük değer ise T(0)=T(12)=26T(0) = T(12) = 26 olur.
a>0a > 0 olduğundan [0,12][0, 12] kapalı aralığında fonksiyon en küçük değerini tepe noktası olan t=6t=6'da alır. En büyük değerini ise tepe noktasına en uzak olan uç noktalarda alır. t=0t=0 ve t=12t=12 noktaları tepe noktasına eşit uzaklıkta (66 birim) olduğundan bu noktalardaki değerler e��ittir ve en büyük değeri oluşturur.
3
Fonksiyonun katsayılarını (aa ve bb) bulma.
b=26b = 26 ve a=1a = 1 elde edilir, böylece T(t)=t2−12t+26T(t) = t^2 - 12t + 26 olur.
T(0)=b=26T(0) = b = 26 elde edilir. Tepe noktasındaki en küçük değer için T(6)=a(6)2−12a(6)+26=−10  ⟹  −36a+26=−10  ⟹  −36a=−36  ⟹  a=1T(6) = a(6)^2 - 12a(6) + 26 = -10 \implies -36a + 26 = -10 \implies -36a = -36 \implies a = 1 bulunur.
4
Sıcaklığın −6-6 °C olduğu zamanları bulma.
t=4t = 4 ve t=8t = 8 saatleri elde edilir.
T(t)=−6  ⟹  t2−12t+26=−6  ⟹  t2−12t+32=0T(t) = -6 \implies t^2 - 12t + 26 = -6 \implies t^2 - 12t + 32 = 0 denklemi çözülmelidir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 olur ve kökler t1=4t_1 = 4 ve t2=8t_2 = 8 olarak bulunur. Her iki değer de [0,12][0, 12] aralığındadır.
5
İki an arasındaki süreyi hesaplama.
Süre 4 saattir.
Sıcaklığın −6-6 °C olduğu iki an arasındaki süre t2−t1=8−4=4t_2 - t_1 = 8 - 4 = 4 saat olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değer uygulamaları
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru