Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2−xy−2y2=0x2+y2−10y=0\begin{aligned} x^2 - xy - 2y^2 &= 0 \\ x^2 + y^2 - 10y &= 0 \end{aligned}

denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, bu denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

  1. A
    -33
  2. -17Cevap
  3. C
    8
  4. D
    17
  5. E
    33

Cevap

-17 sayısıdır
Verilen denklem sisteminin ilk denklemi x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 şeklinde olup çarpanlarına (x−2y)(x+y)=0(x-2y)(x+y) = 0 olarak ayrılır. Buradan x=2yx = 2y veya x=−yx = -y ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sırasıyla ikinci denklemde yerine yazıldığında (0,0)(0,0), (4,2)(4,2) ve (−5,5)(-5,5) gerçek sayı ikilileri bulunur. Bu ikililerin elemanlarının çarpımı sırasıyla 00, 88 ve −25-25 olup toplamları −17-17 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi çarpanlarına ayırın.
x2−xy−2y2=0⇒(x−2y)(x+y)=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 \Rightarrow (x - 2y)(x + y) = 0. Buradan iki durum elde edilir: x=2yx = 2y veya x=−yx = -y.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklemlerden birini doğrusal çarpanlarına ayırarak değişkenler arası ilişkileri belirlemek gerekir.
2
x=2yx = 2y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulun.
(2y)2+y2−10y=0⇒5y2−10y=0⇒5y(y−2)=0(2y)^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 5y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 5y(y - 2) = 0. Buradan y=0y = 0 veya y=2y = 2 bulunur. x=2yx = 2y bağıntısından (x,y)(x,y) ikilileri (0,0)(0,0) ve (4,2)(4,2) olarak elde edilir.
Belirlenen doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine yazıp tek değişkenli ikinci dereceden bir denklem elde ederek çözümleri bulmak.
3
x=−yx = -y durumunu ikinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulun.
(−y)2+y2−10y=0⇒2y2−10y=0⇒2y(y−5)=0(-y)^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 2y^2 - 10y = 0 \Rightarrow 2y(y - 5) = 0. Buradan y=0y = 0 veya y=5y = 5 bulunur. x=−yx = -y bağıntısından (x,y)(x,y) ikilileri (0,0)(0,0) ve (−5,5)(-5,5) olarak elde edilir.
Değişkenler arasındaki ikinci doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine koyup diğer olası çözümleri tespit etmek.
4
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarını hesaplayıp toplayın.
Çözüm kümesi S={(0,0),(4,2),(−5,5)}S = \{(0,0), (4,2), (-5,5)\} elemanlarından oluşur. Çarpımlar: 0⋅0=00 \cdot 0 = 0, 4⋅2=84 \cdot 2 = 8, −5⋅5=−25-5 \cdot 5 = -25. Bu değerlerin toplamı 0+8−25=−170 + 8 - 25 = -17 olur.
Soru kökünün bizden istediği çarpımların toplamını nihai olarak hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çarpanlara Ayırma ve Yerine Koyma Yöntemi ile Çözülmesi
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri