Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = a \cos(b x) + c fonksiyonunun esas periyodu … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = a \cos(b x) + c

fonksiyonunun esas periyodu

\frac{\pi}{3}

ve görüntü kümesi

[-1, 5]

'tir.

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olduğuna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

Cevap: 11

Katsayıların toplamı 11'dir.

Fonksiyonun periyodundan

b = 6

, görüntü kümesi sınırlarından ise

a = 3

c = 2

elde edilir. Bu değerlerin toplamı

11

yapar.

Esas periyot formülü yardımıyla b katsayısını bulma.

b = 6

f(x) = a \cos(bx) + c

biçimindeki kosinüs fonksiyonunun esas periyodu

T = \frac{2\pi}{|b|}

formülüyle bulunur.

b > 0

olduğu ve esas periyot

\frac{\pi}{3}

olarak verildiği için,

\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{3}

eşitliğinden

b = 6

elde edilir.

Görüntü kümesi yardımıyla a ve c katsayılarını bulma.

a = 3, c = 2

Her

x

gerçel sayısı için

-1 \leq \cos(6x) \leq 1

aralığı geçerlidir.

a > 0

olduğu için fonksiyonun alabileceği en küçük değer

-a + c

, en büyük değer ise

a + c

olur. Buradan

-a + c = -1

a + c = 5

denklem sistemi kurulur. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında

2c = 4 \implies c = 2

bulunur. Bulunan değer yerine yazıldığında

a = 3

elde edilir.

a, b ve c katsayılarını toplama.

a + b + c = 11

Hesaplanan

a = 3

b = 6

c = 2

değerleri toplanarak

3 + 6 + 2 = 11

sonucuna ulaşılır.

Trigonometrik fonksiyonlarda periyot ve katsayıların görüntü kümesine etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru