f(x) = \begin{cases} x^2 - 2ax + 5, & x < 2 \\ x^3 - 3x^2 + b, & x \geq 2 \end{cases} fonk… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \begin{cases} x^2 - 2ax + 5, & x < 2 \\ x^3 - 3x^2 + b, & x \geq 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

$f$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında bir yerel ekstremumu olduğuna göre, $b$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

En büyük değer 5'tir.

Fonksiyonun

x = 2

noktasında sürekli olması şartından

b = 13 - 4a

bağıntısı bulunur.

x > 2

için türev pozitif olduğundan fonksiyon artandır.

x = 2

noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) oluşabilmesi için fonksiyonun

x < 2

bölgesinde tamamen azalan olması gerekir, bu da

a \geq 2

olmasını zorunlu kılar. Bu eşitsizlik

b = 13 - 4a

bağıntısında yerine yazıldığında

b \leq 5

elde edilir ve en büyük değer 5 olur.

Süreklilik şartını kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulunuz.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \implies 9 - 4a = b - 4 \implies b = 13 - 4a

Fonksiyonun gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan

x = 2

noktasında da sürekli olması gerekir.

x > 2

için fonksiyonun artan/azalan durumunu inceleyiniz.

x > 2 \text{ için } f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) > 0

Türevin işaretine göre fonksiyonun artış eğilimini belirlemek gerekir.

x < 2

için yerel ekstremum koşulunu inceleyerek a için sınır koşulunu bulunuz.

x < 2 \text{ için } f'(x) = 2(x - a) \leq 0 \implies a \geq 2

Fonksiyonun

x = 2

noktasının sağında artan olduğu bilinmektedir.

x = 2

noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda azalan olması gerekir. Bu da her

x < 2

için

f'(x) \leq 0

olmasını gerektirir.

a \geq 2

koşulunu kullanarak b değerini sınırlandırınız.

a \geq 2 \implies -4a \leq -8 \implies 13 - 4a \leq 5 \implies b \leq 5

Süreklilikten elde edilen

b = 13 - 4a

eşitliğinde a parametresinin sınırlarını yerine yazarak b için alabileceği en büyük değeri bulmak gerekir.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevin işaret değiştirmesi ve süreklilik ilişkisi.

Soru