2^{\log_x 5} + 5^{\log_x 2} = 50 \neşitliğini sağlayan x gerçel sayısı için x^6 değeri kaç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

2^{\log_x 5} + 5^{\log_x 2} = 50

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı için

x^6

değeri kaçtır?

Cevap: 8

Verilen logaritmik denklemi sağlayan

x

gerçel sayısı için

x^6

değeri 8'dir.

Verilen denklemde

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

kuralı uyarınca

2^{\log_x 5}

ile

5^{\log_x 2}

birbirine eşittir. Bu iki ifadenin toplamı

2 \cdot 5^{\log_x 2} = 50

eşitliğini verir. Buradan

5^{\log_x 2} = 25 = 5^2

olur. Dolayısıyla

\log_x 2 = 2

olup logaritma tanımından

x^2 = 2

bulunur. Bizden istenen

x^6

ifadesi

(x^2)^3

şeklinde yazılabileceğinden,

2^3 = 8

sonucu elde edilir.

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri ortak tabanda düzenleyin.

2^{\log_x 5} = 5^{\log_x 2}

olduğundan denklem

5^{\log_x 2} + 5^{\log_x 2} = 50 \Rightarrow 2 \cdot 5^{\log_x 2} = 50

biçimine dönüşür.

Denklemin sol tarafındaki iki farklı üslü ifadeyi tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.

Elde edilen üslü denklemi çözerek logaritmalı üs ifadesini bulun.

5^{\log_x 2} = 25 \Rightarrow 5^{\log_x 2} = 5^2 \Rightarrow \log_x 2 = 2

Üslü sayıların tabanları eşit olduğunda üslerin de eşit olması kuralını uygulamak için.

Logaritma tanımını kullanarak taban ile argüman arasındaki ilişkiyi kurun.

x^2 = 2

(Logaritma taban tanımı gereği

x > 0

x \neq 1

koşulu sağlanmalıdır, bu nedenle

x = \sqrt{2}

olur).

\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a

tanımını uygulamak için.

İstenen

x^6

değerini elde edilen

x^2

değeri cinsinden hesaplayın.

x^6 = (x^2)^3 = 2^3 = 8

x

değerini bulup üssünü almak yerine doğrudan

x^2

değerini yerine yazarak işlem kolaylığı sağlamak için.

Logaritmanın

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

özelliği ve logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları.

Soru