Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x+yx−y+x−yx+y=103x2+2xy+y2−x−y=12\begin{aligned} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} &= \frac{10}{3} \\ x^2 + 2xy + y^2 - x - y &= 12 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları birer tam sayı olan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    32
  2. B
    18
  3. C
    8
  4. 2Cevap
  5. E
    -2

Cevap

Tam sayı olan koordinat ikilileri için koordinatların çarpımının alabileceği en büyük değer 2'dir.
İkinci denklem (x+y−4)(x+y+3)=0(x+y-4)(x+y+3) = 0 şeklinde yazılıp x+yx+y için aday değerler belirlenir. Birinci denklemden gelen oranlar kullanılarak her iki durum için x−yx-y farkları hesaplanır. Ortaya çıkan üç farklı tam sayı koordinatlı çözüm ikilisinin koordinat çarpımları karşılaştırıldığında en büyük sonucun 2 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırın.
(x+y)2−(x+y)−12=0  ⟹  (x+y−4)(x+y+3)=0(x+y)^2 - (x+y) - 12 = 0 \implies (x+y-4)(x+y+3) = 0 Buradan x+y=4x+y = 4 veya x+y=−3x+y = -3 elde edilir.
Sistemdeki x+yx+y ifadesinin alabileceği değerleri belirleyerek denklemi basitleştirmek amacıyla.
2
Birinci denklemde değişken değiştirme yöntemi uygulayın.
x+yx−y=u\frac{x+y}{x-y} = u dönüşümü yapılırsa denklem u+1u=103  ⟹  3u2−10u+3=0u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3} \implies 3u^2 - 10u + 3 = 0 halini alır. Bu denklemin kökleri u=3u = 3 veya u=13u = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin çözümünü kolaylaştırmak ve x+yx+y ile x−yx-y aras��ndaki oranları tespit etmek amacıyla.
3
Bulunan x+yx+y değerleri ve uu oranları yardımıyla olası x−yx-y değerlerini hesaplayıp denklem sistemlerini çözün.
1. Durum (x+y=4x+y = 4):
- u=3  ⟹  x−y=4/3  ⟹  x=8/3,y=4/3u = 3 \implies x-y = 4/3 \implies x = 8/3, y = 4/3 (tam sayı değil).
- u=1/3  ⟹  x−y=12  ⟹  x=8,y=−4u = 1/3 \implies x-y = 12 \implies x = 8, y = -4 (tam sayı).

2. Durum (x+y=−3x+y = -3):
- u=3  ⟹  x−y=−1  ⟹  x=−2,y=−1u = 3 \implies x-y = -1 \implies x = -2, y = -1 (tam sayı).
- u=1/3  ⟹  x−y=−9  ⟹  x=−6,y=3u = 1/3 \implies x-y = -9 \implies x = -6, y = 3 (tam sayı).
Tüm olası (x,y)(x, y) gerçek sayı ikililerini bulmak ve bunlar arasından koordinatları tam sayı olanları seçmek amacıyla.
4
Elde edilen tam sayı koordinat ikililerinin çarpımlarını hesaplayıp karşılaştırın.
Tam sayı çözümlerin çarpımları:
- 8⋅(−4)=−328 \cdot (-4) = -32
- (−2)⋅(−1)=2(-2) \cdot (-1) = 2
- (−6)⋅3=−18(-6) \cdot 3 = -18
Bu değerlerden en büyüğü 2'dir.
Soru kökünde istenen en büyük çarpım değerini belirlemek amacıyla.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Birinci denklemde paydalar eşitlenerek içler dışlar çarpımı yapıldığında 3(x+y)2+3(x−y)2=10(x2−y2)3(x+y)^2 + 3(x-y)^2 = 10(x^2-y^2) elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde 4x2−16y2=0  ⟹  x2=4y2  ⟹  x=2y4x^2 - 16y^2 = 0 \implies x^2 = 4y^2 \implies x = 2y veya x=−2yx = -2y bağıntılarına ulaşılır. Bu iki doğrusal bağıntı ikinci denklemde yerine yazılarak da aynı tam sayı ikililerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri