Examkin

Soru

Zorluk: ZorBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(g(x)+x)=x3−x2+8x−2f(g(x) + x) = x^3 - x^2 + 8x - 2
eşitliği geçerlidir.

g(1)=2g(1) = 2 ve g′(1)=2g'(1) = 2 olduğuna göre, f′(3)f'(3) değeri kaçtır?

  1. 33Cevap
  2. B
    92\frac{9}{2}
  3. C
    99
  4. D
    94\frac{9}{4}
  5. E
    13\frac{1}{3}

Cevap

Doğru cevap 3 değerini içeren seçenektir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte her iki tarafın türevi alındığında bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafta f'(g(x) + x) * (g'(x) + 1) ifadesi elde edilir. x = 1 değeri için g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri yerine yazıldığında f'(3) * 3 elde edilir. Sağ tarafın türevi olan 3x^2 - 2x + 8 ifadesinde x = 1 yazıldığında 9 elde edilir. Buradan 3 * f'(3) = 9 ve f'(3) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(g(x)+x)⋅(g′(x)+1)=3x2−2x+8f'(g(x) + x) \cdot (g'(x) + 1) = 3x^2 - 2x + 8
Bileşke fonksiyon türevi kuralı (f(u(x)))' = f'(u(x)) * u'(x) uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazılır.
f′(g(1)+1)⋅(g′(1)+1)=3(1)2−2(1)+8f'(g(1) + 1) \cdot (g'(1) + 1) = 3(1)^2 - 2(1) + 8
Bize verilen ve sorulan değerlerin elde edilmesi için uygun nokta seçilmiştir.
3
Verilen g(1) = 2 ve g'(1) = 2 değerleri denklemde yerine yazılır.
f′(2+1)⋅(2+1)=3−2+8  ⟹  f′(3)⋅3=9f'(2 + 1) \cdot (2 + 1) = 3 - 2 + 8 \implies f'(3) \cdot 3 = 9
Bilinmeyen f'(3) değerini yalnız bırakmak için aritmetik işlemler yürütülür.
4
Denklemin her iki tarafı 3'e bölünerek f'(3) değeri yalnız bırakılır.
f′(3)=3f'(3) = 3
İstenen türev değerine ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uyarınca içteki ifadenin türeviyle çarpmayı unutmamak gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Bu konudan daha fazla soru