Tanımlı ve türevlenebilir y = f(u) ve u = g(x) fonksiyonları için y = u^2 - 3u + 1 u = \sqrt{x^2 + 5}\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \frac{dy}{dx} ifadesinin x = 2 noktasındaki değeri kaçtır?

Tanımlı ve türevlenebilir y = f(u) ve u = g(x) fonksiyonları için y = u^2 - 3u + 1 u = \sq… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı ve türevlenebilir

y = f(u)

u = g(x)

fonksiyonları için

y = u^2 - 3u + 1

u = \sqrt{x^2 + 5}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ ifadesinin $x = 2$ noktasındaki değeri kaçtır?

Cevap: 2

Aranan t��rev değeri 2'dir.

Zincir kuralı formülü olan

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

ifadesinde ilgili türev değerleri sırasıyla

\frac{dy}{du} = 3

\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}

olarak bulunur. Bu iki değer çarpıldığında doğru sonuç 2 olarak elde edilir.

Zincir kuralı ilişkisini yazma

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

y

değişkeninin

x

'e göre türevi, aradaki ortak

u

değişkenine bağlı olarak zincir kuralı yardımıyla elde edilir.

x = 2

için

u

değerini hesaplama

u = 3

u = \sqrt{x^2 + 5}

ifadesinde

x = 2

yazılarak ilgili

u

değeri tespit edilir.

y

'nin

u

'ya göre türevini alıp

u = 3

noktasındaki değerini bulma

\frac{dy}{du} = 3

y = u^2 - 3u + 1

fonksiyonunun

u

değişkenine göre türevi

2u - 3

olur.

u = 3

için

2(3) - 3 = 3

elde edilir.

u

'nun

x

'e göre türevini alıp

x = 2

noktasındaki değerini bulma

\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}

u = \sqrt{x^2 + 5}

fonksiyonunun

x

'e göre türevi zincir kuralı gereği

\frac{1}{2\sqrt{x^2+5}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}

olur.

x = 2

yazıldığında

\frac{2}{3}

değeri bulunur.

Türev değerlerini çarparak sonucu hesaplama

Bulunan türev değerleri zincir kuralı formülünde yerine konulup çarpılır:

3 \cdot \frac{2}{3} = 2

Bağlı değişkenlerde türev hesabı için zincir kuralının uygulanması.