Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Ortak çarpanı 11’den farklı olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Her n≥1n \ge 1 için
Sn+2−4Sn+1+3Sn=0S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi a3=36a_3 = 36 olduğuna göre, dizinin ilk 44 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Cevap: 160

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri 160'tır.
Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk nn terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan rr değerini belirleyen r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. r≠1r \neq 1 olduğu için r=3r = 3 bulunur. Ardından a3=36a_3 = 36 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır. Son adımda S4S_4 formülüyle dizinin ilk 44 teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplam formülünü tanımlama
Sn=C(rn−1)S_n = C(r^n - 1) (burada C=a1r−1C = \frac{a_1}{r-1})
Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için
2
Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma
C⋅rn(r2−4r+3)=0C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0
Ortak çarpan rr değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma
r=3r = 3
r≠1r \neq 1 ve r≠0r \neq 0 koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için
4
Verilen a3a_3 terimini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulma
a1=4a_1 = 4
Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için
5
İlk 4 terim toplamı S4S_4'ü hesaplama
160
İstenen toplam değerine ulaşmak için

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru