Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere tanımlı f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığında 44 eşit alt aralığa göre hesaplanan Riemann orta toplamı, bu aralıktaki ∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx belirli integralinin değerinden daha büyüktür.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade doğrudur. Riemann orta toplamının değeri (2727), belirli integralin değerinden (803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67) daha büyüktür.
Verilen f(x)=12−x2f(x) = 12 - x^2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] aralığındaki Riemann orta toplamı 2727 olarak hesaplanır. Bu aralıktaki belirli integral değeri ise 803≈2667\frac{80}{3} \approx 26{}67 olduğundan, Riemann orta toplamı integral değerinden büyüktür. Bu durum geometrik olarak fonksiyonun konkav (aşağı doğru içbükey) olmasından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkların orta noktalarını belirleme
Aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 ve orta noktalar: m1=05m_1 = 0{}5, m2=15m_2 = 1{}5, m3=25m_3 = 2{}5, m4=35m_4 = 3{}5
Riemann orta toplamını hesaplamak için alt aralıkların orta noktalarına ve ortak aralık genişliğine ihtiyaç duyulur.
2
Orta noktaların fonksiyon altındaki görüntülerini hesaplama
f(05)=1175f(0{}5) = 11{}75, f(15)=975f(1{}5) = 9{}75, f(25)=575f(2{}5) = 5{}75, f(35)=−025f(3{}5) = -0{}25
Riemann orta toplamı formülündeki yükseklik değerlerini bulmak için orta noktaların fonksiyon değerleri hesaplanır.
3
Riemann orta toplamını (SortaS_{orta}) hesaplama
Sorta=[f(05)+f(15)+f(25)+f(35)]⋅Δx=(1175+975+575−025)⋅1=27S_{orta} = [f(0{}5) + f(1{}5) + f(2{}5) + f(3{}5)] \cdot \Delta x = (11{}75 + 9{}75 + 5{}75 - 0{}25) \cdot 1 = 27
Her alt aralığın orta noktasındaki fonksiyon değeri ile aralık genişliği çarpılıp toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.
4
Belirli integrali hesaplama ve Riemann orta toplamı ile karşılaştırma
∫04(12−x2) dx=[12x−x33]04=48−643=803≈2667\int_{0}^{4} (12 - x^2) \, dx = \left[ 12x - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = 48 - \frac{64}{3} = \frac{80}{3} \approx 26{}67 ve 27>266727 > 26{}67 olduğu görülür.
İfadenin doğruluğunu teyit etmek için Riemann orta toplamı ile integral değeri karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Riemann Orta Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru