Examkin

Soru

Zorluk: ZorAritmetik Dizi ve Özellikleri

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=mx+nf(x) = mx + n doğrusal fonksiyonu için, her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı olmak üzere bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin genel terimi an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri ile ff fonksiyonu arasında
f(a2)=26f(a_2) = 26
f(a5)=53f(a_5) = 53
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, ortak farkı pozitif olan bu (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk 1010 teriminin toplamı (S10S_{10}) kaçtır?

  1. 185Cevap
  2. B
    165
  3. C
    200
  4. D
    145
  5. E
    370

Cevap

İlk 10 terim toplamı olan 185 değeri doğrudur.
Dizinin genel terimi doğrusal bir fonksiyon olduğundan an=mn+na_n = mn + n şeklinde yazılabilir. f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 eşitliklerinden yararlanarak ortak fark m=3m = 3 ve sabit terim n=2n = 2 bulunur. Buradan dizinin genel terimi an=3n+2a_n = 3n + 2 elde edilir. İlk 10 terimin toplamı ise S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini doğrusal fonksiyon cinsinden yazmak
an=f(n)=mn+na_n = f(n) = mn + n elde edilir. Bu aritmetik dizide ortak fark r=mr = m'dir.
Dizinin genel terimini fonksiyonun katsayıları cinsinden tanımlayabilmek için.
2
Verilen f(a2)=26f(a_2) = 26 ve f(a5)=53f(a_5) = 53 değerlerini kullanarak denklem sistemi oluşturmak
a2=2m+na_2 = 2m + n ve a5=5m+na_5 = 5m + n olur. Buradan f(a2)=m(2m+n)+n=2m2+mn+n=26f(a_2) = m(2m + n) + n = 2m^2 + mn + n = 26 ve f(a5)=m(5m+n)+n=5m2+mn+n=53f(a_5) = m(5m + n) + n = 5m^2 + mn + n = 53 denklemleri elde edilir.
Fonksiyonun katsayıları olan mm ve nn değerlerini belirleyebilmek için.
3
Oluşan denklem sistemini çözerek katsayıları bulmak
İki denklemin farkından 3m2=27  ⟹  m2=93m^2 = 27 \implies m^2 = 9 elde edilir. Ortak farkı pozitif dendiği için m=3m = 3 olur. Denklemde yerine yazıldığında 2(9)+4n=26  ⟹  4n=8  ⟹  n=22(9) + 4n = 26 \implies 4n = 8 \implies n = 2 bulunur.
Genel terimin katsayılarını tek bir değere indirgemek için.
4
Dizinin genel terimini yazıp ilk 10 terim toplamını hesaplamak
Genel terim an=3n+2a_n = 3n + 2 olur. İlk terim a1=5a_1 = 5, 10. terim a10=32a_{10} = 32 değerleridir. Toplam formülüyle S10=102(a1+a10)=5(5+32)=185S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(5 + 32) = 185 elde edilir.
Soru kökündeki ilk 10 terim toplamı (S10S_{10}) değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve aritmetik dizi toplam formülü
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru