Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu dd olarak verilmiştir. ff fonksiyonunun grafiği ile dd doğrusu arasında kalan sınırlı bölge, yy-ekseni tarafından iki alt bölgeye ayrılmaktadır. Buna göre, solda kalan bölgenin alanının sağda kalan bölgenin alanına oranı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    12
  5. E
    133\frac{13}{3}

Cevap

Soldaki bölgenin alanının sağdaki bölgenin alanına oranı 8'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi bulunur. Teğet doğrusunun denklemi y=9x−16y = 9x - 16 olarak elde edilir. Ardından, eğri ile teğet doğrusunun kesişim noktaları x3−3x=9x−16x^3 - 3x = 9x - 16 denkleminin çözülmesiyle x=2x = 2 (teğetlik noktası, çift katlı kök) ve x=−4x = -4 olarak bulunur. Sınırlı bölge [−4,2][-4, 2] aralığındadır. Bu bölgeyi yy-ekseni (x=0x=0 doğrusu) ikiye ayırdığı için, soldaki alan [−4,0][-4, 0] aralığında, sağdaki alan ise [0,2][0, 2] aralığında integral alınarak hesaplanır. [−4,2][-4, 2] aralığında eğri teğet doğrusunun üzerinde kaldığından, integrali alınacak fark fonksiyonu (x3−3x)−(9x−16)=x3−12x+16(x^3 - 3x) - (9x - 16) = x^3 - 12x + 16 olur. Soldaki alan ∫−40(x3−12x+16)dx=96\int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = 96 ve sağdaki alan ∫02(x3−12x+16)dx=12\int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = 12 olarak bulunur. Bu iki alanın oranı 96/12=896 / 12 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin e��imini ve teğet noktası koordinatlarını bulun.
f(2)=23−3(2)=2f(2) = 2^3 - 3(2) = 2 olduğundan teğet noktası (2,2)(2, 2)'dir. Türev fonksiyonu f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 olup, x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m=f′(2)=3(22)−3=9m = f'(2) = 3(2^2) - 3 = 9 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ve doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Teğet doğrusu dd'nin denklemini yazın.
Teğet doğrusunun denklemi y−2=9(x−2)  ⟹  y=9x−16y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16 olarak elde edilir.
Eğri ile teğet doğrusu arasında kalan bölgenin sınırlarını ve alanını belirlemek için doğrunun cebirsel ifadesi gereklidir.
3
f(x)f(x) eğrisi ile dd doğrusunun kesim noktalarını bulun.
x3−3x=9x−16  ⟹  x3−12x+16=0x^3 - 3x = 9x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = 0 denklemi çözülür. x=2x = 2 noktası teğet noktası olduğundan denklemin çift katlı köküdür. Dolayısıyla denklem (x−2)2(x+4)=0(x-2)^2(x+4) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kesim noktaları x=2x = 2 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
Eğri ve doğrunun sınırladığı bölgenin sol ve sağ uç sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
4
yy-ekseninin solunda ve sağında kalan alanları belirli integral yardımıyla hesaplayın.
[−4,2][-4, 2] aralığında f(x)≥9x−16f(x) \ge 9x - 16 olduğundan fark fonksiyonu x3−12x+16x^3 - 12x + 16'dır. Soldaki alan S1=∫−40(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]−40=0−(64−96−64)=96S_1 = \int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^0 = 0 - (64 - 96 - 64) = 96 birimkare bulunur. Sağdaki alan S2=∫02(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]02=(4−24+32)−0=12S_2 = \int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_0^2 = (4 - 24 + 32) - 0 = 12 birimkare bulunur.
yy-ekseni x=0x = 0 doğrusu olduğundan sınırlı bölgeyi [−4,0][-4, 0] ve [0,2][0, 2] olmak üzere iki alt aralığa böler. Her bir alt bölgenin alanı belirli integral ile hesaplanır.
5
Bulunan alanların oranını hesaplayın.
Soldaki alanın sağdaki alana oranı S1S2=9612=8\frac{S_1}{S_2} = \frac{96}{12} = 8 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen oran, sol bölgenin alanının sağ bölgenin alanına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

İntegral alırken x3−12x+16=(x−2)2(x+4)x^3 - 12x + 16 = (x-2)^2(x+4) biçiminde çarpanlarına ayrılan ifadenin integrali, değişken değiştirme veya doğrudan polinom integrali ile hesaplanabilir. Ayrıca pratik bir yol olarak, üçüncü dereceden bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyon arasında kalan toplam alan A=k12(x2−x1)4A = \frac{k}{12}(x_2 - x_1)^4 formülüyle de kontrol edilebilir (burada kk başkatsayıdır). Bu soruda toplam alan 112⋅(2−(−4))4=129612=108\frac{1}{12} \cdot (2 - (-4))^4 = \frac{1296}{12} = 108 olarak bulunur. Bölgelerin alanları sırasıyla 96 ve 12 olduğundan toplamı doğrular.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru