Examkin

Soru

Zorluk: ZorBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiği ile bu grafiğe x=1x = 1 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda teğet olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları verilmiştir.

d1d_1 doğrusu xx-eksenini (23,0)(\frac{2}{3}, 0) noktasında kesmekte, d2d_2 doğrusu ise xx-ekseniyle pozitif yönde 135∘135^\circ lik açı yapmaktadır.

g(x)=f(x⋅f(2x))g(x) = f(x \cdot f(2x)) şeklinde tanımlanan gg fonksiyonu için g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

  1. -3Cevap
  2. B
    0
  3. C
    3
  4. D
    -1
  5. E
    9

Cevap

İstenen g'(1) değeri -3'tür.
Bileşke fonksiyon türev kuralı ve çarpımın türevi kuralı doğru şekilde uygulandığında g'(1) = f'(1) * (f(2) + 2f'(2)) ifadesine ulaşılır. Grafikten f(2) = 1, f'(2) = tan(135°) = -1, f(1) = 1 ve f'(1) = 3 değerleri bulunup yerine yazıldığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını uygulayarak g'(x) ifadesini genel olarak yazalım.
g′(x)=f′(x⋅f(2x))⋅ddx(x⋅f(2x))g'(x) = f'(x \cdot f(2x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(2x))
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
2
Çarpımın türevi ve zincir kuralını kullanarak içteki x⋅f(2x)x \cdot f(2x) ifadesinin türevini bulalım.
ddx(x⋅f(2x))=1⋅f(2x)+x⋅f′(2x)⋅2=f(2x)+2x⋅f′(2x)\frac{d}{dx}(x \cdot f(2x)) = 1 \cdot f(2x) + x \cdot f'(2x) \cdot 2 = f(2x) + 2x \cdot f'(2x)
İki ifadenin çarpımının türevi için (birincinin türevi) * (ikinci) + (ikincinin türevi) * (birinci) kuralı uygulanır. f(2x) türevlenirken içinin türevi olan 2 çarpanı eklenir.
3
Türev ifadesinde x = 1 yazarak gerekli olan fonksiyon ve türev değerlerini belirleyelim.
g′(1)=f′(1⋅f(2))⋅(f(2)+2⋅f′(2))g'(1) = f'(1 \cdot f(2)) \cdot (f(2) + 2 \cdot f'(2))
x = 1 noktası türev fonksiyonundaki değişken yerine yerleştirilir.
4
Grafik ve teğet doğrularının denklemlerinden/eğimlerinden f(2), f'(2), f(1) ve f'(1) değerlerini elde edelim.
f(2)=1f(2) = 1, f′(2)=tan⁡(135∘)=−1f'(2) = \tan(135^\circ) = -1, f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=1−01−2/3=3f'(1) = \frac{1 - 0}{1 - 2/3} = 3
Türevlenebilir bir fonksiyonun teğet olduğu noktadaki türevi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimine (x-ekseniyle yapılan açının tanjantına) eşittir.
5
Bulunan değerleri adım 3'te elde edilen ifadede yerine yerleştirerek g'(1) değerini hesaplayalım.
g′(1)=f′(1⋅1)⋅(1+2⋅(−1))=f′(1)⋅(1−2)=3⋅(−1)=−3g'(1) = f'(1 \cdot 1) \cdot (1 + 2 \cdot (-1)) = f'(1) \cdot (1 - 2) = 3 \cdot (-1) = -3
Bulunan değerler cebirsel olarak yerlerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev alırken zincir kuralının ve çarpım kuralının doğru uygulanması ile grafikteki teğet doğrusunun eğiminin türev değeri olarak yorumlanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Bu konudan daha fazla soru