Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu yardımıyla g(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu yardımıyla $g(x) = f(x \cdot f(x))$ fonksiyonu tanımlanıyor.

f(3) = 1

f'(3) = 2

olduğuna göre, $g'(3)$ değeri kaçtır?

Cevap: 14

İstenen

g'(3)

türev değeri

14

olarak bulunur.

Zincir kuralı ve çarpım kuralı doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında

g'(3) = 14

sonucuna ulaşılır.

g(x) = f(x \cdot f(x))

fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.

g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(x))

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

x \cdot f(x)

ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.

\frac{d}{dx}(x \cdot f(x)) = f(x) + x \cdot f'(x)

Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi

(u \cdot v)' = u'v + uv'

kuralına göre hesaplanır.

Türev ifadelerini birleştirerek

g'(x)

fonksiyonunu elde edin.

g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot (f(x) + x \cdot f'(x))

Zincir ve çarpım kurallarından gelen sonuçlar birleştirilerek genel türev kuralı oluşturulur.

Elde edilen türev fonksiyonunda

x = 3

yazarak verilen değerleri yerine koyun.

g'(3) = f'(3) \cdot (1 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot 7 = 14

Türevlenebilir fonksiyonların verilen noktalardaki değerleri yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı ve çarpım kuralının birlikte uygulanması

Soru