Examkin

Soru

Zorluk: KolayYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı

f(x)=x−1+9x−1f(x) = x - 1 + \frac{9}{x - 1}

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Verilen fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x = -2 ve x = 4 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu apsislerin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=1−9(x−1)2=(x−1)2−9(x−1)2f'(x) = 1 - \frac{9}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 9}{(x-1)^2}
Yerel ekstremum noktaları, türevin işaret değiştirdiği kritik noktalarda bulunur.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (payın kökleri) belirlenir.
(x−1)2−9=0⇒(x−1)2=9⇒x−1=3 veya x−1=−3⇒x=4 ve x=−2(x-1)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 9 \Rightarrow x-1 = 3 \text{ veya } x-1 = -3 \Rightarrow x = 4 \text{ ve } x = -2
Türevin payını sıfır yapan noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin paydasının kökü incelenir.
(x−1)2=0⇒x=1(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 (çift katlı kök ve tanımsızlık noktası)
Fonksiyon x = 1 noktasında tanımlı değildir, ayrıca bu nokta türevin çift katlı kökü olduğu için türevin işareti bu noktada değişmez.
4
Türevin işaret tablosu yapılarak ekstremum noktaları belirlenir.
x < -2 için f'(x) > 0 (artan), -2 < x < 1 için f'(x) < 0 (azalan), 1 < x < 4 için f'(x) < 0 (azalan), x > 4 için f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x = -2 noktasında yerel maksimum ve x = 4 noktasında yerel minimum vardır.
Türevin işaretinin değiştiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
5
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplanır.
−2+4=2-2 + 4 = 2
Bulunan yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Yerel ekstremum noktalarının bulunması için birinci türevin işaret tablosunun incelenmesi gerekir. Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru