Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3x2+ax+5f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsislerinin çarpımı −2-2'dir.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    -6
  3. -3Cevap
  4. D
    -15
  5. E
    27

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı -3'tür.
Doğru cevap olan −3-3 değeri, türev fonksiyonunun kökler çarpımı özelliğinden a=−12a = -12 parametresinin bulunması, ardından elde edilen türev denkleminin çözülerek yerel maksimum apsisi x=−1x = -1 ve yerel minimum apsisi x=2x = 2 olarak bulunmasıyla elde edilir. Bu apsislerin fonksiyondaki değerleri sırasıyla 1212 ve −15-15 olup toplamları −3-3 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak ekstremum noktalarını belirleyen denklemi oluşturun.
f′(x)=6x2−6x+af'(x) = 6x^2 - 6x + a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türev fonksiyonunu sıfır yapan ve işaret değiştiren köklerdir.
2
Türev denkleminin kökler çarpımı formülünü kullanarak aa parametresini hesaplayın.
x1⋅x2=a6=−2  ⟹  a=−12x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{6} = -2 \implies a = -12
Soruda yerel ekstremum noktalarının apsisler çarpımının −2-2 olduğu verilmiştir. İkinci dereceden denklemlerde kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülü ile hesaplanır.
3
a=−12a = -12 değerini türev denkleminde yerine yazarak ekstremum noktalarının apsislerini bulun.
6x2−6x−12=0  ⟹  6(x2−x−2)=0  ⟹  6(x−2)(x+1)=0  ⟹  x1=−16x^2 - 6x - 12 = 0 \implies 6(x^2 - x - 2) = 0 \implies 6(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1 = -1 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için denklem çarpanlarına ayrılır.
4
Bulunan apsis değerlerini orijinal fonksiyonda yerine yazarak yerel ekstremum değerlerini hesaplayın.
f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+5=12f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 12 (yerel maksimum değeri)
f(2)=2(2)3−3(2)2−12(2)+5=−15f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = -15 (yerel minimum değeri)
Bir noktanın ekstremum değeri, o noktanın apsis değerinin fonksiyon altındaki görüntüsüdür.
5
Hesaplanan yerel ekstremum değerlerini toplayın.
12+(−15)=−312 + (-15) = -3
Soruda yerel ekstremum değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin sıfıra eşit olduğu ve işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ise yerel ekstremum değerleridir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru