Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Şekildeki dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikte; f(x)f(x) eğrisi, koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu aras��nda kalan boyalı S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    0
  2. B
    43\frac{4}{3}
  3. C
    4
  4. 83\frac{8}{3}Cevap
  5. E
    143\frac{14}{3}

Cevap

Boyalı bölgelerin alanları toplamı 83\frac{8}{3} birimkaredir.
Doğru cevap olan 83\frac{8}{3} değeri, parabolün [0,1][0,1] aralığında x-ekseninin altında kalan bölgesinin alanını (S1=43S_1 = \frac{4}{3}) ve [1,3][1,3] aralığında x-ekseninin üstünde kalan bölgesinin alanını (S2=43S_2 = \frac{4}{3}) ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
−x2+4x−3=0⇒−(x−1)(x−3)=0-x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow -(x-1)(x-3) = 0 denkleminden sınır noktaları x=1x = 1 ve x=3x = 3 bulunur.
İntegral sınırlarını belirlemek ve fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.
2
[0,3][0, 3] aralığını fonksiyonun işaretine göre parçalarız.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan bu bölgenin alanı S1=∫01−f(x) dxS_1 = \int_0^1 -f(x) \, dx ve [1,3][1, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan bu bölgenin alanı S2=∫13f(x) dxS_2 = \int_1^3 f(x) \, dx olur.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmaması için fonksiyonun önüne eksi konulmalıdır.
3
S1S_1 bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.
S1=∫01(x2−4x+3) dx=[x33−2x2+3x]01=13−2+3=43S_1 = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} birimkare.
[0,1][0, 1] aralığındaki alan değerini bulmak.
4
S2S_2 bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.
S2=∫13(−x2+4x−3) dx=[−x33+2x2−3x]13=(−9+18−9)−(−13+2−3)=0−(−43)=43S_2 = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_1^3 = ( -9 + 18 - 9 ) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkare.
[1,3][1, 3] aralığındaki alan değerini bulmak.
5
S1S_1 ve S2S_2 alanlarını toplayarak toplam alanı elde ederiz.
S1+S2=43+43=83S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} birimkare.
Toplam boyalı alanı bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan alan hesaplanırken, eğrinin x-ekseninin altında kalan bölgedeki integralinin negatif değer alacağı unutulmamalı ve bu aralıkta alan bulmak için integralin önüne eksi (-) işareti getirilmelidir.

Alternatif Yöntem

Parabolün tepe noktası olan x=2x = 2 doğrusu simetri eksenidir. Bu eksene göre [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki alanlar birbirine eşittir. Sadece [1,2][1, 2] aralığındaki integral hesaplanıp 2 ile çarpılarak S2S_2 alanı daha hızlı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru