Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde; y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü, y=x+2y = x + 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan ve koordinat düzleminin ikinci bölgesinde yer alan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    76\frac{7}{6}
  2. 103\frac{10}{3}Cevap
  3. C
    92\frac{9}{2}
  4. D
    163\frac{16}{3}
  5. E
    223\frac{22}{3}

Cevap

İkinci bölgede sınırlandırılmış bölgenin alanı olan \frac{10}{3} birimkaredir.
İkinci bölgede sınırlanan bölgenin alanı, üstte yer alan parabolün denkleminden alttaki doğrunun denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin x=−2x = -2 ile x=0x = 0 sınırları arasındaki belirli integrali ile bulunur. Yapılan hesaplamalar sonucunda alan değeri 103\frac{10}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla denklemleri birbirine eşitleyin.
4−x2=x+2  ⟹  x2+x−2=0  ⟹  (x+2)(x−1)=04 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 elde edilir. Buradan kesim noktalarının apsisleri x=−2x = -2 ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını ve bölgenin başlangıç noktasını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
2
İkinci bölgedeki sınır değerlerini ve hangi fonksiyonun üstte yer aldığını tespit edin.
İkinci bölgede x≤0x \le 0 ve y≥0y \ge 0 olmalıdır. Dolayısıyla sol sınır kesim noktası olan x=−2x = -2, sağ sınır ise yy-ekseni yani x=0x = 0 olur. Bu aralıkta (örneğin x=−1x = -1 için) parabolün değeri 33, doğrunun değeri ise 11 olduğundan parabol (y=4−x2y = 4 - x^2) doğrunun (y=x+2y = x + 2) üstündedir.
İntegral sınırlarını belirlemek ve alan ifadesini üstteki fonksiyondan alttakini çıkaracak şekilde kurmak için bu analiz gereklidir.
3
Belirli integral yardımıyla alan bağıntısını kurun ve integrali alın.
Alan=∫−20((4−x2)−(x+2))dx=∫−20(2−x−x2)dxAlan = \int_{-2}^0 \left( (4 - x^2) - (x + 2) \right) dx = \int_{-2}^0 (2 - x - x^2) dx integral ifadesi elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali: [2x−x22−x33]−20\left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0 olarak bulunur.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali ile hesaplanır.
4
Bulunan integral ifadesinde sınırları yerine yazarak alanı hesaplayın.
0−(2(−2)−(−2)22−(−2)33)=−(−4−2+83)=−(−6+83)=1030 - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) = - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) = \frac{10}{3} birimkare elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için üst sınırın fonksiyon değerinden alt sınırın fonksiyon değeri çıkarılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Alternatif Yöntem

İstenen alan, parabolün altında kalan alan ile doğrunun altında kalan alanların geometrik farkı olarak da hesaplanabilir. [−2,0][-2, 0] aralığında y=4−x2y = 4 - x^2 parabolünün altında kalan alan: ∫−20(4−x2)dx=163\int_{-2}^0 (4 - x^2) dx = \frac{16}{3} birimkaredir. Aynı aralıkta y=x+2y = x+2 doğrusu, koordinat eksenleriyle köşeleri (−2,0)(-2,0), (0,0)(0,0) ve (0,2)(0,2) olan bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı 2×22=2\frac{2 \times 2}{2} = 2 birimkaredir. İstenen bölge bu iki alanın farkı olduğundan: 163−2=103\frac{16}{3} - 2 = \frac{10}{3} birimkare bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru