Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizi ve Özellikleri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)f(x) doğrusal fonksiyonu için (an)(a_n) aritmetik dizisi, her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) şeklinde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı 33 ve
a6+a10=56a_6 + a_{10} = 56
olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?
  1. A
    4
  2. 7Cevap
  3. C
    11
  4. D
    35
  5. E
    49

Cevap

Dizinin ilk terimi 7'dir.
Dizinin ilk terimi 7'dir. Çünkü doğrusal fonksiyonun eğimi (ortalama değişim hızı olan 3) dizinin ortak farkı rr'ye eşittir. Buradan a6+a10=2a8=56  ⟹  a8=28a_6 + a_{10} = 2a_8 = 56 \implies a_8 = 28 olur. a1=a8−7r=28−7(3)=7a_1 = a_8 - 7r = 28 - 7(3) = 7 olarak doğru bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyonun ortalama değişim hızından dizinin ortak farkını belirleme.
Dizinin ortak farkı r=3r = 3 olarak bulunur.
Gerçel sayılarda tanımlı bir doğrusal fonksiyonun herhangi bir aralıktaki ortalama de��işim hızı, o fonksiyonun eğimine eşittir. an=f(n)a_n = f(n) olarak tanımlandığından, bu doğrusal fonksiyonun eğimi aynı zamanda (an)(a_n) aritmetik dizisinin ardışık terimleri arasındaki farkı, yani ortak farkını (rr) verir.
2
Verilen terimler toplamını kullanarak dizinin 8. terimini (a8a_8) bulma.
a8=28a_8 = 28 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir veya simetrik terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katıdır. a6+a10=2a8a_6 + a_{10} = 2a_8 olduğundan, 2a8=56  ⟹  a8=282a_8 = 56 \implies a_8 = 28 elde edilir.
3
Ortak fark ve 8. terim yardımıyla ilk terimi (a1a_1) hesaplama.
a1=7a_1 = 7 olarak bulunur.
Bir aritmetik dizide herhangi bir terim an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r formülüyle yazılabilir. Buna göre a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r eşitliğinde bilinenler yerine yazılırsa: 28=a1+7⋅3  ⟹  28=a1+21  ⟹  a1=728 = a_1 + 7 \cdot 3 \implies 28 = a_1 + 21 \implies a_1 = 7 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terimin doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi ve indis özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru