Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f'(x) = x^2 - 5x … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = x^2 - 5x + 4

olarak verilmiştir.

Buna göre, $g(x) = f(x^2)$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

A
$[1, 2]$
B
$[-1, 1]$
$[0, 1]$ Cevap
D
$[-2, 0]$
E
$[-1, 0]$

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıklardan biri [0, 1] aralığıdır.

Doğru seçenekte sunulan [0, 1] aralığı,

g'(x) = 2x(x^2-4)(x^2-1) \ge 0

eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan artanlık aralıklarından biridir. Yapılan türev analizi ve işaret tablosu sonucunda bu aralıkta türevin pozitif veya sıfır olduğu doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.

g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)

g(x) = f(x^2)

fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevinin çarpımına eşittir.

f'(x)

fonksiyonunda

x

yerine

x^2

yazarak

f'(x^2)

ifadesini bulunuz ve çarpanlarına ayırınız.

f'(x^2) = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4 = (x^2-4)(x^2-1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)

g'(x)

ifadesini tamamen çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp kökleri bulmak için.

g'(x) = 0

denkleminin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturunuz.

Kökler küçükten büyüğe:

-2, -1, 0, 1, 2

olup işaret tablosunda en sağ aralık (

x > 2

) pozitif (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir.

Türevin işaretini belirleyerek fonksiyonun artan (

g'(x) \ge 0

) ve azalan (

g'(x) \le 0

) olduğu aralıkları tespit etmek için.

g'(x) \ge 0

olan aralıkları belirleyiniz.

Fonksiyonun artan olduğu aralıklar

[-2, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)

olarak bulunur.

Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artanlık ve azalanlık aralıklarının belirlenmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru