k bir gerçel sayı olmak üzere, [k, k+3] kapalı aralığında tanımlı f(x) = x^2 - 4x + 5 fonk… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

k

bir gerçel sayı olmak üzere,

[k, k+3]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = x^2 - 4x + 5

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark

15

’tir.

Buna göre, $k$ sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

A
-9
-6Cevap
C
-2
D
3
E
6

Cevap

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkın 15 olması koşulunu sağlayan farklı k değerlerinin çarpımı -6'dır.

Doğru yanıt olan değer, parabolün tepe noktası olan x = 2 apsisli noktanın sağında ve solunda kalan aralıkların her ikisinin de incelenmesiyle elde edilir. k = 3 durumunda fonksiyon [3, 6] aralığında artandır ve fark 15 olur. k = -2 durumunda ise fonksiyon [-2, 1] aralığında azalandır ve fark yine 15 olur. Bu iki değerin çarpımı -6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Parabolün tepe noktasını bulma

r = 2

f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2 olarak bulunur. a = 1 > 0 olduğundan kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon x = 2'de minimum değerini alır.

k parametresine bağlı aralık durumlarını belirleme

Üç farklı durum: k >= 2 (artan), k+3 <= 2 (azalan) ve -1 < k < 2 (tepe noktası aralık içinde)

[k, k+3] aralığının tepe noktası olan 2'ye göre konumunu inceleyerek en büyük ve en küçük değerlerin hangi noktalarda oluştuğunu belirlemek gerekir.

Aralığın tepe noktasının sağında kalması durumunu (k >= 2) inceleme

k = 3

k >= 2 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima artandır. En küçük değer f(k), en büyük değer f(k+3) olur. Fark: f(k+3) - f(k) = (k+3)^2 - 4(k+3) + 5 - (k^2 - 4k + 5) = 6k - 3 olur. 6k - 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = 3 elde edilir. Bu değer k >= 2 koşulunu sağlar.

Aralığın tepe noktasının solunda kalması durumunu (k <= -1) inceleme

k = -2

k+3 <= 2 yani k <= -1 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima azalandır. En büyük değer f(k), en küçük değer f(k+3) olur. Fark: f(k) - f(k+3) = -(6k - 3) = -6k + 3 olur. -6k + 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = -2 elde edilir. Bu değer k <= -1 koşulunu sağlar.

Tepe noktasının aralık içinde olması durumunu (-1 < k < 2) inceleme

Reel kök bulunamaz

Bu durumda en küçük değer tepe noktasında oluşur: f(2) = 1. En büyük değer ise sınırlarda oluşur. Tepe noktasına uzak olan sınıra göre maksimum değer f(k) veya f(k+3) olur. (k-2)^2 = 15 veya (k+1)^2 = 15 denklemlerinden gelen kökler aralık sınırlarını sağlamaz.

Bulunan k değerlerinin çarpımını hesaplama

3 * (-2) = -6

Koşulları sağlayan k değerleri 3 ve -2'dir. Bu değerlerin çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumu incelenmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa fonksiyon o aralıkta monotondur (artan veya azalan); içindeyse en büyük ya da en küçük değer tepe noktasında oluşur.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru