Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir f fonksiyonu f(f(x) - 2x) = 3x^2 + 2x - 2\neşitliğini sağlamaktadır. f(1) = 3 olduğuna göre, f'(1) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir f fonksiyonu f(f(x) - … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir

f

fonksiyonu

f(f(x) - 2x) = 3x^2 + 2x - 2

eşitliğini sağlamaktadır.

f(1) = 3

olduğuna göre,

f'(1)

değeri kaçtır?

Cevap: 4

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

) doğru uygulanıp

x=1

yazıldığında

f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8

denklemi elde edilir. Bu denkleminin kökleri

4

-2

olup, fonksiyonun artan olma koşulundan dolayı pozitif olan 4 değeri doğru cevaptır.

Eşitliğin her iki yanının türevini alarak zincir kuralını uygulayın.

f'(f(x) - 2x) \cdot (f'(x) - 2) = 6x + 2

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

Eşitlikte

x = 1

yazarak verilen değerleri kullanın.

f'(f(1) - 2) \cdot (f'(1) - 2) = 8

Soruda

f(1)

değeri verildiği ve

f'(1)

istendiği için türev denkleminde

x = 1

noktası incelenmelidir.

f(1) = 3

değerini yerine koyun.

f'(1) \cdot (f'(1) - 2) = 8

f(1) - 2

ifadesini sadeleştirmek ve bilinmeyen

f'(1)

değerine bağlı bir denklem elde etmek için bu adım gereklidir.

f'(1) = k

değişken değiştirmesi ile ikinci dereceden denklemi çözün.

k = 4

veya

k = -2

k^2 - 2k - 8 = 0

denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.

f

fonksiyonunun artanlık özelliğini kullanarak doğru kökü seçin.

f'(1) = 4

Artan fonksiyonların türevi tanımlı oldukları yerlerde negatif olamayacağı için negatif olan

-2

kökü elenir.

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve elde edilen denklemin fonksiyon özelliklerine göre çözülmesi.