Examkin

Soru

Zorluk: ZorAritmetik Dizi ve Özellikleri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=px+qf(x) = px + q doğrusal fonksiyonu veriliyor.

(an)(a_n) ve (bn)(b_n) dizileri her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için
an=f(n)a_n = f(n)
bn=f(2n−1)b_n = f(2n - 1)
biçiminde tanımlanıyor.
(an)(a_n) ve (bn)(b_n) birer aritmetik dizi olmak üzere,
a3+b4=28a_3 + b_4 = 28
a7−b2=8a_7 - b_2 = 8
eşitlikleri sağlanmaktad��r.

Buna göre, a10+b5a_{10} + b_5 toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    42
  2. 46Cevap
  3. C
    48
  4. D
    64
  5. E
    38

Cevap

Dizilerin doğrusal fonksiyon tanımından yola çıkılarak elde edilen terimler yerine yazıldığında toplamın sonucu 46 bulunur.
Doğrusal fonksiyonun tanımından an=f(n)a_n = f(n) ve bn=f(2n−1)=a2n−1b_n = f(2n-1) = a_{2n-1} olduğu görülür. Buna göre b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 olur. Verilen eşitliklerden a3+a7=28a_3 + a_7 = 28 ve a7−a3=8a_7 - a_3 = 8 elde edilir. Bu iki eşitlik ortak çözüldüğünde a7=18a_7 = 18 ve a3=10a_3 = 10 bulunur. Dizinin ortak farkı rr olmak üzere a7−a3=4r  ⟹  8=4r  ⟹  r=2a_7 - a_3 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2 olur. Bizden istenen a10+b5a_{10} + b_5 ifadesi, b5=a9b_5 = a_9 olduğundan a10+a9a_{10} + a_9 toplamına eşittir. a9=a7+2r=18+4=22a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22 ve a10=a9+r=22+2=24a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24 olup, bu iki terimin toplamı 24+22=4624 + 22 = 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin terimleri arasındaki ilişkiyi doğrusal fonksiyon yardımıyla belirleme.
bn=a2n−1b_n = a_{2n-1} ilişkisi elde edilir. Buradan b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 olur.
bnb_n dizisi f(2n−1)f(2n-1) olarak tanımlandığından ve an=f(n)a_n = f(n) olduğundan, bnb_n dizisinin her bir terimi (an)(a_n) dizisinin tek indisli terimlerine karşılık gelir.
2
Verilen denklem sistemini (an)(a_n) dizisinin terimleri cinsinden yazıp çözme.
a3+a7=28a_3 + a_7 = 28 ve a7−a3=8a_7 - a_3 = 8 denklemleri elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa toplandığında 2a7=36  ⟹  a7=182a_7 = 36 \implies a_7 = 18 ve buradan a3=10a_3 = 10 bulunur.
Elde edilen b4=a7b_4 = a_7 ve b2=a3b_2 = a_3 değerleri soruda verilen eşitliklerde yerine yazılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturulur.
3
(an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkını (rr) bulma.
a7−a3=4r  ⟹  18−10=4r  ⟹  8=4r  ⟹  r=2a_7 - a_3 = 4r \implies 18 - 10 = 4r \implies 8 = 4r \implies r = 2 bulunur.
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve indisler farkı ortak farkın katını verir (ap−aq=(p−q)ra_p - a_q = (p-q)r).
4
İstenen a10+b5a_{10} + b_5 toplamını hesaplama.
b5=a9b_5 = a_9 olduğundan istenen ifade a10+a9a_{10} + a_9 toplamıdır. a9=a7+2r=18+4=22a_9 = a_7 + 2r = 18 + 4 = 22 ve a10=a9+r=22+2=24a_{10} = a_9 + r = 22 + 2 = 24 olup, 24+22=4624 + 22 = 46 bulunur.
b5b_5 teriminin (an)(a_n) cinsinden karşılığı bulunur ve ortak fark yardımıyla bilinmeyen terimler hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve indis özellikleri ile doğrusal fonksiyonlar arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru