\log_3 12 = a \log_2 5 = b olduğuna göre, \log_{15} 24 ifadesinin a ve b türünden eşiti aş… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_3 12 = a

\log_2 5 = b

olduğuna göre, $\log_{15} 24$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3a-1}{ab-b+2}

İstenen ifade taban değiştirme kuralı ile 2 tabanına çevrildiğinde

\frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5}

elde edilir.

\log_3 12 = a

eşitliğinden bulunan

\log_2 3 = \frac{2}{a-1}

\log_2 5 = b

değerleri yerlerine yazılıp sadeleştirildiğinde

\frac{3a-1}{ab-b+2}

ifadesine ulaşılır.

Verilen

\log_3 12 = a

eşitliğini logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirelim.

\log_3 12 = \log_3 (3 \cdot 4) = \log_3 3 + \log_3 (2^2) = 1 + 2\log_3 2 = a

Buradan,

2\log_3 2 = a - 1 \implies \log_3 2 = \frac{a-1}{2}

bulunur.

Verilen ifadeyi daha basit logaritmik terimlere indirgemek.

Elde edilen ifadeden taban değiştirme kuralı yardımıyla

\log_2 3

değerini elde edelim.

\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{2}{a-1}

olarak bulunur.

Diğer verilen değer olan

\log_2 5 = b

ifadesinin tabanı 2 olduğundan, tüm terimleri 2 tabanında yazabilmek.

İstenen

\log_{15} 24

ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 2 tabanında yazalım.

\log_{15} 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 15} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 (3 \cdot 5)} = \frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5}

elde edilir.

İstenen ifadeyi bilinen değişkenlerin tabanında (2 tabanında) ifade etmek.

Bulduğumuz

\log_2 3 = \frac{2}{a-1}

\log_2 5 = b

değerlerini formülde yerine yazarak düzenleyelim.

\log_{15} 24 = \frac{3 + \frac{2}{a-1}}{\frac{2}{a-1} + b} = \frac{\frac{3a-3+2}{a-1}}{\frac{2+ab-b}{a-1}} = \frac{3a-1}{ab-b+2}

elde edilir.

Rasyonel ifadelerde payda eşitleme ve sadeleştirme işlemlerini yaparak sonuca ulaşmak.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru