Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı

f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan 33 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile bu fonksiyonun [1,4][1, 4] aralığındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark kaçtır?

  1. A
    66
  2. B
    77
  3. 88Cevap
  4. D
    1414
  5. E
    1515

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki fark 8'dir.
Riemann üst toplamını bulmak için aralık genişliği 1 olarak hesaplanır. Artan fonksiyonun sağ uç değerleri olan f(2)=6, f(3)=11 ve f(4)=18 kullanılarak Riemann üst toplamı 35 elde edilir. Belirli integralin değeri ise 27 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark 35 - 27 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
[1,4][1, 4] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir alt aral��ğın genişliği b−an\frac{b-a}{n} formülüyle hesaplanır.
Genişlik Δx=4−13=1\Delta x = \frac{4 - 1}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3] ve [3,4][3, 4] olarak belirlenir.
Riemann toplamını hesaplamak için aralık genişliğini ve alt aralıkları bulmamız gerekir.
2
f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun maksimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir. Bu sağ uç noktalardaki değerleri kullanarak Riemann üst toplamını (UU) hesaplayalım.
U=Δx⋅[f(2)+f(3)+f(4)]=1⋅[(22+2)+(32+2)+(42+2)]=1⋅[6+11+18]=35U = \Delta x \cdot [f(2) + f(3) + f(4)] = 1 \cdot [(2^2+2) + (3^2+2) + (4^2+2)] = 1 \cdot [6 + 11 + 18] = 35 olur.
Riemann üst toplamını bulmak için her alt aralıktaki maksimum değerler (sağ uç noktalar) kullanılır.
3
f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralı��ındaki belirli integralini hesaplayalım.
∫14(x2+2) dx=[x33+2x]14=(643+8)−(13+2)=633+6=21+6=27\int_{1}^{4} (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{4} = \left( \frac{64}{3} + 8 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{63}{3} + 6 = 21 + 6 = 27 olur.
Riemann üst toplamı ile karşılaştırılacak olan gerçek alanı bulmak için belirli integral hesaplanır.
4
Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki farkı bulalım.
U−∫14f(x) dx=35−27=8U - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 35 - 27 = 8 olur.
Soruda istenen farkı bulmak için üst toplamdan integralin değerini çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru