1'den farklı a, b ve c pozitif gerçel sayıları için, \log_a b = 4 \log_c b = 6 olduğuna gö… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı

a

b

c

pozitif gerçel sayıları için,

\log_a b = 4

\log_c b = 6

olduğuna göre,

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 3

İfadenin değeri 3'tür.

Verilen ifadeler taban değiştirme kuralı kullanılarak ortak bir taban olan

b

tabanında yazıldığında

\log_b a = 1/4

\log_b c = 1/6

elde edilir. İstenen ifade de aynı tabana dönüştürülüp sadeleştirildiğinde değerinin 3 olduğu görülür.

Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme özelliğini kullanarak

b

tabanına dönüştürün.

\log_b a = \frac{1}{4}

\log_b c = \frac{1}{6}

elde edilir.

İstenen ifadenin tabanındaki

a

c

değişkenlerini ortak olan

b

tabanında yazarak tek bir tabanda işlem yapabilmek için.

İstenen

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesine taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi

b

tabanında yazın.

\log_{a^2 \cdot c} (b^2) = \frac{\log_b (b^2)}{\log_b (a^2 \cdot c)}

elde edilir.

Tüm terimleri aynı tabanda birleştirip sadeleştirebilmek için.

Pay ve paydadaki ifadeleri logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak düzenleyin.

Pay kısmı

\log_b (b^2) = 2

olur. Payda kısmı ise

\log_b (a^2 \cdot c) = \log_b (a^2) + \log_b c = 2\log_b a + \log_b c

şeklinde yazılır.

Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir ve logaritması alınan sayının üssü başa katsayı olarak çarpan olarak geçer.

Birinci adımda elde edilen

\log_b a

\log_b c

değerlerini yerlerine koyarak rasyonel işlemleri gerçekleştirin.

\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3

bulunur.

İfadenin en sade sayısal değerini bulmak için.

Logaritma taban değiştirme kuralı (

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

) ile çarpım ve üs özelliklerinin uygulanması.

Soru