Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır.
log⁡x(y2)+log⁡y(x9)=9\log_x(y^2) + \log_y(x^9) = 9
olduğuna göre,
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6)
ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen denklem log⁡xy=u\log_x y = u dönüşümüyle 2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemine dönüşür. Bu denklemin kökleri 33 ve 1.51.5 değerleridir. Soruda log⁡xy\log_x y ifadesinin bir tam sayı olduğu belirtildiğinden log⁡xy=3\log_x y = 3 alınmalıdır. İstenen ifade ise log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡xy\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + \frac{6}{\log_x y} olarak sadeleşir. Burada log⁡xy=3\log_x y = 3 değeri yerine yazıldığında sonuç 23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki logaritmik ifadeleri aynı tabana dönüştürmek amacıyla log⁡xy\log_x y cinsinden yazarız.
log⁡x(y2)=2log⁡xy\log_x(y^2) = 2\log_x y ve log⁡y(x9)=9log⁡yx=9log⁡xy\log_y(x^9) = 9\log_y x = \frac{9}{\log_x y} ifadeleri elde edilir.
Taban değiştirme ve logaritma özelliklerini uygulayarak tek bir değişken üzerinden denklem kurabilmek.
2
log⁡xy=u\log_x y = u değişken değiştirmesini uygularız.
2u+9u=92u + \frac{9}{u} = 9 denklemi elde edilir.
Denklemin çözümünü daha kolay ve anlaşılır hale getirmek.
3
Elde edilen rasyonel denklemi, her iki tarafı uu ile çarparak ikinci dereceden bir denkleme dönüştürürüz.
2u2−9u+9=02u^2 - 9u + 9 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden denklem çözme yöntemlerini uygulayabilmek.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırız.
(2u−3)(u−3)=0(2u - 3)(u - 3) = 0 elde edilir, buradan u=32u = \frac{3}{2} veya u=3u = 3 bulunur.
Değişkenin alabileceği olası değerleri belirlemek.
5
Soruda verilen 'log⁡xy\log_x y bir tam sayıdır' koşulunu kullanarak uygun uu değerini seçeriz.
u=3u = 3 seçilir.
Tam sayı olma koşulunu sağlayan tek kök 33 olduğu için.
6
İstenen ifadeyi logaritma özelliklerini kullanarak uu cinsinden yazarız.
log⁡x3(y2)+log⁡y(x6)=23log⁡xy+6log⁡yx=23u+6u\log_{x^3}(y^2) + \log_y(x^6) = \frac{2}{3}\log_x y + 6\log_y x = \frac{2}{3}u + \frac{6}{u} elde edilir.
Sorulan ifadeyi hesaplamaya uygun hale getirmek.
7
u=3u = 3 değerini elde ettiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu buluruz.
23(3)+63=2+2=4\frac{2}{3}(3) + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 hesaplanır.
İstenen ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} ve logaritmanın log⁡an(bm)=mnlog⁡ab\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a b özelliğinin uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru