Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası yy-ekseni üzerinde olan ve denklemi y=12−x2y = 12 - x^2 olan parabol verilmiştir. Bu parabol ile xx-ekseni arasında kalan bölgeye; tabanı xx-ekseni üzerinde, diğer iki köşesi ise parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor. Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en fazla kaç birim olabilir?

Cevap: 26 birim

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en fazla 26 birimdir.
Parabolün simetri ekseni yy-ekseni olduğundan, içerisine çizilen dikdörtgen de yy-eksenine göre simetriktir. Taban köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) alındığında taban uzunluğu 2x2x, yüksekliği ise parabol üzerindeki noktaların ordinatı olan 12−x212 - x^2 olur. Bu durumda çevre fonksiyonu C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 biçiminde kurulur. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Apsis r=1r = 1 iken ordinat C(1)=26C(1) = 26 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bir değişken cinsinden ifade etmek.
Dikdörtgenin xx-ekseni üzerindeki köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) olsun (x>0x > 0). Bu durumda dikdörtgenin taban uzunluğu 2x2x birim olur. Diğer iki köşesi parabol üzerinde yer aldığından, bu köşelerin koordinatları (−x,12−x2)(-x, 12 - x^2) ve (x,12−x2)(x, 12 - x^2) olur. Dolayısıyla dikdörtgenin yüksekliği 12−x212 - x^2 birimdir.
Çevre fonksiyonunu oluşturabilmek için kenar uzunluklarını tek bir bilinmeyen cinsinden yazmamız gerekir.
2
Dikdörtgenin çevresini veren fonksiyonu oluşturmak.
Çevre fonksiyonu C(x)=2⋅(Taban+Yu¨kseklik)=2⋅(2x+12−x2)=−2x2+4x+24C(x) = 2 \cdot (\text{Taban} + \text{Yükseklik}) = 2 \cdot (2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24 olarak elde edilir.
En büyük çevre de��erini bulmak için çevre uzunluğunu temsil eden ikinci dereceden fonksiyonu tanımlamamız gerekir.
3
İkinci dereceden çevre fonksiyonunun maksimum değerini hesaplamak.
Baş katsayısı negatif olan C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 parabolü en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−42(−2)=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak en büyük çevre değeri C(1)=−2(1)2+4(1)+24=26C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26 birim olarak hesaplanır.
Bir parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinatıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik optimizasyon problemlerinde istenen büyüklük (çevre, alan vb.) tek bir değişken cinsinden modellenerek ikinci dereceden bir fonksiyon elde edilir. Bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri tepe noktasının ordinatı yardımıyla bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru