Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanıml�� ff fonksiyonu

f(x)={x2+4x+5,x<1x2−6x+15,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, & x < 1 \\ x^2 - 6x + 15, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    11
  3. C
    13
  4. 17Cevap
  5. E
    21

Cevap

Yerel ekstremum değerlerinin toplamı 17'dir.
Yerel ekstremum değerleri, fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarındaki görüntüleridir. Fonksiyonun yerel minimumları x=−2x = -2 (f(−2)=1f(-2) = 1) ve x=3x = 3 (f(3)=6f(3) = 6) noktalarında; yerel maksimumu ise türevinin olmadığı fakat sürekli olup artanlıktan azalanlığa geçtiği x=1x = 1 (f(1)=10f(1) = 10) noktasındadır. Bu değerlerin toplamı 1+10+6=171 + 10 + 6 = 17 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dalların türevlerini alarak kritik noktaları belirleme
x<1x < 1 için f′(x)=2x+4f'(x) = 2x + 4 ve x>1x > 1 için f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6 bulunur. Buradan türevi sıfır yapan aday noktalar x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak elde edilir.
Fonksiyonun türevlenebildiği aralıklardaki yerel ekstremum adaylarını bulmak amacıyla türevin kökleri hesaplanır.
2
Kritik noktaların aralıklara uygunluğunu kontrol etme
x=−2x = -2 değeri x<1x < 1 şartını, x=3x = 3 değeri ise x>1x > 1 şartını sağladığı için her ikisi de geçerli kritik noktalardır.
Her bir türev kuralının geçerli olduğu tanım aralığına uygun noktaları belirlemek gerekir.
3
Sınır noktası olan x=1x = 1 noktasında süreklilik ve artanlık-azalanlık incelemesi
lim⁡x→1−f(x)=10\lim_{x \to 1^-} f(x) = 10, lim⁡x→1+f(x)=10\lim_{x \to 1^+} f(x) = 10 ve f(1)=10f(1) = 10 olduğundan fonksiyon x=1x = 1 noktasında süreklidir. x∈(−2,1)x \in (-2, 1) aralığında f′(x)>0f'(x) > 0 (artan) ve x∈(1,3)x \in (1, 3) aralığında f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) olduğundan x=1x = 1 noktası yerel maksimum noktasıdır.
Fonksiyonun türevinin olmadığı veya kural değiştirdiği noktalarda da yerel ekstremum bulunabileceğini incelemek ve süreklilik şartını doğrulamak gerekir.
4
Ekstremum değerlerini bulma ve toplama
f(−2)=1f(-2) = 1 (yerel minimum), f(1)=10f(1) = 10 (yerel maksimum) ve f(3)=6f(3) = 6 (yerel minimum) değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 1+10+6=171 + 10 + 6 = 17 olur.
Soruda istenen yerel ekstremum değerlerinin toplamını hesaplamak için bu ordinat değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevinin sıfır olması şart değildir; fonksiyon sürekli olduğu bir noktada artanlıktan azalanlığa (veya tersi) geçiş yapıyorsa o nokta bir yerel ekstremum noktasıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru