Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=∣x2−1∣(x2−a)f(x) = |x^2 - 1|(x^2 - a)

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı NN'dir.

Buna göre, NN değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 9Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

Ekstremum noktalarının sayısı olan NN değeri 11, 33 veya 55 olabilir ve bu değerlerin toplamı 99'dur.
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı, aa parametresinin değerlerine göre değişmektedir. Yapılan detaylı analiz sonucunda, a=1a = 1 iken fonksiyonun yalnızca x=0x = 0 noktasında yerel ekstremumu bulunur (N=1N = 1). a≤−1a \le -1 iken fonksiyonun x=0,x=1,x=−1x = 0, x = 1, x = -1 olmak üzere 33 yerel ekstremum noktası vardır (N=3N = 3). −1<a<1-1 < a < 1 ve a>1a > 1 durumlarında ise fonksiyonun 55 farklı yerel ekstremum noktası bulunur (N=5N = 5). Dolayısıyla NN değerinin alabileceği farklı değerler 1,31, 3 ve 55'tir. Bunların toplamı da 99 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin kritik noktaları olan x=1x = 1 ve x=−1x = -1 civarındaki davranışı incelemek.
f(x)=∣x2−1∣(x2−a)f(x) = |x^2-1|(x^2-a) fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan x≥0x \ge 0 için incelemek yeterlidir. x=1x = 1 noktasında x2−1x^2-1 işaret değiştirir. Eğer a≠1a \neq 1 ise, x=1x = 1 noktasının komşuluğunda f(x)f(x) fonksiyonu x=1x = 1'in solunda ve sağında farklı işaretli türevlere sahip olur veya sınırda yerel minimum ya da maksimum oluşturur. Dolayısıyla a≠1a \neq 1 iken x=1x = 1 ve simetrisi olan x=−1x = -1 yerel ekstremum noktalarıdır. Eğer a=1a = 1 ise, f(x)=∣x2−1∣(x2−1)f(x) = |x^2-1|(x^2-1) olur. Bu durumda x=1x = 1 civarında f(x)f(x) işareti x>1x > 1 için pozitif, x<1x < 1 için negatif olur ve fonksiyon artmaya devam eder, yani x=±1x = \pm 1 noktaları ekstremum noktası olamaz.
Mutlak değerli fonksiyonların köklerinde türev olmasa bile yerel ekstremum noktası bulunabilir. Bu yüzden x=±1x = \pm 1 noktalarının ekstremum olma durumunu aa parametresine göre ayırmak gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu diğer iç noktaları tespit etmek.
g(x)=(x2−1)(x2−a)=x4−(a+1)x2+ag(x) = (x^2-1)(x^2-a) = x^4 - (a+1)x^2 + a tanımlayalım. g′(x)=4x3−2(a+1)x=2x(2x2−(a+1))g'(x) = 4x^3 - 2(a+1)x = 2x(2x^2 - (a+1)) olur. Bu türevin kökleri x=0x = 0 ve x2=a+12x^2 = \frac{a+1}{2} (eğer a≥−1a \ge -1 ise) olarak bulunur. Bu köklerin mutlak değer sınırları olan −1-1 ve 11 ile olan ilişkisi incelenmelidir.
Parçalı tanımlanan fonksiyonun her bir bölgesinde türevin sıfır olduğu yerler yerel ekstremum adayıdır.
3
aa parametresinin farklı aralıkları için ekstremum sayılarını (NN) belirlemek.
1. Durum: a<−1a < -1 ise, a+12<0\frac{a+1}{2} < 0 olduğundan 2x2−(a+1)=02x^2 - (a+1) = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur. Tek türev sıfır noktası x=0x = 0'dır. a≠1a \neq 1 olduğundan x=±1x = \pm 1 noktaları da ekstremumdur. Bu durumda ekstremum noktaları {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olup N=3N = 3 olur.

2. Durum: a=−1a = -1 ise, x2=0  ⟹  x=0x^2 = 0 \implies x = 0 çift katlı kök gibi davranır, ekstremum noktaları yine {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} olur ve N=3N = 3'tür.

3. Durum: −1<a<1-1 < a < 1 ise, 0<a+12<10 < \frac{a+1}{2} < 1 olur. Bu durumda x2=a+12x^2 = \frac{a+1}{2} denkleminin kökleri olan x1,x2=±a+12x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}} noktaları (−1,1)(-1, 1) aralığının içindedir. Ekstremum noktaları {−1,x1,0,x2,1}\{-1, x_1, 0, x_2, 1\} olup N=5N = 5 olur.

4. Durum: a=1a = 1 ise, x=±1x = \pm 1 noktalarında işaret değişimi olmadığından ekstremum yoktur. Tek ekstremum noktası x=0x = 0 olup N=1N = 1 olur.

5. Durum: a>1a > 1 ise, a+12>1\frac{a+1}{2} > 1 olur. Bu durumda x1,x2=±a+12x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}} kökleri [−1,1][-1, 1] aralığının dışındadır. Ekstremum noktaları {x1,−1,0,1,x2}\{x_1, -1, 0, 1, x_2\} olup N=5N = 5 olur.
aa değerinin kritik sınırları olan −1-1 ve 11 değerlerine göre türev köklerinin konumunu ve sınır noktalarının ekstremum olup olmadığını netleştirmek gerekir.
4
Elde edilen tüm farklı NN değerlerini toplamak.
NN değerinin alabileceği farklı değerler 1,31, 3 ve 55'tir. Bunların toplamı ise 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9 olarak bulunur.
Soru bizden NN sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türevlenebilirlik ile yerel ekstremum noktası ilişkisi ve sınır noktalarının analizi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun grafiğinin a>1a > 1, a=1a = 1, −1<a<1-1 < a < 1, a=−1a = -1 ve a<−1a < -1 durumları için kabaca çizilmesi (grafiksel analiz yöntemi), yerel ekstremum noktalarının (çukur ve tümseklerin) sayısını görsel olarak görmeyi çok kolaylaştırır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru