Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Analitik düzlemde,
(a−1)x+3y−6=0(a-1)x + 3y - 6 = 0
2x+(a−2)y−12=02x + (a-2)y - 12 = 0
doğruları veriliyor.

Bu doğruların kesim noktası koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    13
  3. C
    15
  4. 18Cevap
  5. E
    22

Cevap

Değeri 18 olan seçenektir.
Doğruların ortak çözümünden elde edilen kesim noktasının apsisinin negatif, ordinatının pozitif olma koşulu incelendiğinde a parametresinin (4, 8) aralığında olması gerektiği görülür. Bu aralıktaki a tam sayıları 5, 6 ve 7'dir. Toplamları ise 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesişim noktasının var olabilmesi ve tekil olabilmesi için katsayılar matrisinin determinantının (D) sıfırdan farklı olması gerektiğini belirleriz.
D = (a-1)(a-2) - (2)(3) = a^2 - 3a + 2 - 6 = a^2 - 3a - 4 = (a-4)(a+1) şeklinde bulunur. Doğruların tek bir kesim noktasının olması için a ≠ 4 ve a ≠ -1 olmalıdır.
Eğer determinant sıfır olursa doğrular ya paralel olur (kesişim kümesi boş küme) ya da çakışık olur (kesişim kümesi sonsuz elemanlı).
2
Cramer yöntemiyle kesim noktasının koordinatlarını (x0, y0) a parametresine bağlı olarak hesaplarız.
Dx = 6(a-2) - 12(3) = 6a - 48 = 6(a-8) ve Dy = 12(a-1) - 6(2) = 12a - 24 = 12(a-2) olarak hesaplanır. Buradan kesim noktası:
x0 = Dx / D = 6(a-8) / ((a-4)(a+1))
y0 = Dy / D = 12(a-2) / ((a-4)(a+1)) elde edilir.
Doğruların kesim noktasının koordinatlarını bulmak için ortak çözüm yapılması gerekir.
3
Kesim noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olması koşulunu (x0 < 0 ve y0 > 0) uygularız.
x0 < 0 ise (a-8) / ((a-4)(a+1)) < 0 ve y0 > 0 ise (a-2) / ((a-4)(a+1)) > 0 eşitsizlik sistemini elde ederiz.
Koordinat düzleminin II. bölgesindeki noktaların apsisi negatif, ordinatı ise pozitiftir.
4
Elde edilen iki eşitsizliğin işaret tablolarını yaparak ortak çözüm kümesini buluruz.
İlk eşitsizliğin kökleri -1, 4, 8 olup çözüm kümesi (-∞, -1) ∪ (4, 8) aralığıdır. İkinci eşitsizliğin kökleri -1, 2, 4 olup çözüm kümesi (-1, 2) ∪ (4, ∞) aralığıdır. İki aralığın kesişimi (4, 8) açık aralığı olarak bulunur.
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.
5
Çözüm aralığındaki a tam sayı değerlerini belirleyip toplarız.
(4, 8) açık aralığındaki a tam sayıları 5, 6 ve 7'dir. Bu sayıların toplamı 5 + 6 + 7 = 18 olarak bulunur.
Soru bizden a parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını talep etmektedir.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Geometrik Yorumu ve Çözüm Koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Bu konudan daha fazla soru