Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer tam sayı olmak üzere,

* a+b⋅ca + b \cdot c
* a⋅b+ca \cdot b + c
* a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

sayılarından iki tanesinin tek sayı, bir tanesinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c tek sayıdır.
II. a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 çift sayıdır.
III. ba+cb^a + c çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve ikinci öncüllerin her zaman doğru olduğunu belirten 'I ve II' ifadesidir.
Verilen iki tek, bir çift sayı koşulunu yalnızca aa sayısının çift, bb ve cc sayılarının ise tek olduğu durum sağlamaktadır. Buna göre; çift sayı ile tek sayının toplamı olan birinci öncül daima tektir. Tam sayıların karelerinin toplamından elde edilen ikinci öncül daima çifttir. Üçüncü öncülde ise aa üssü negatif bir çift tam sayı olabileceğinden (örneğin a=−2a = -2), bab^a ifadesi rasyonel bir sayı belirtir ve teklik-çiftlik aranmaz. Bu nedenle yalnızca birinci ve ikinci öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç ifadenin teklik-çiftlik durumlarını incelemek için değişkenlerin durumlarını analiz etmek.
Sadece aa çift, bb tek ve cc tek olduğunda iki tek ve bir çift sayı elde edilir.
Olası tüm teklik-çiftlik durumları test edildiğinde; aa çift (Ç), bb tek (T), cc tek (T) iken:
* a+bc≡C¸+T⋅T≡Ta + bc \equiv \text{Ç} + \text{T} \cdot \text{T} \equiv \text{T}
* ab+c≡C¸⋅T+T≡Tab + c \equiv \text{Ç} \cdot \text{T} + \text{T} \equiv \text{T}
* a(b+c)≡C¸⋅(T+T)≡C¸a(b+c) \equiv \text{Ç} \cdot (\text{T} + \text{T}) \equiv \text{Ç}
koşulu sağlayan tek durumdur.
2
Elde edilen aa (çift), bb (tek), cc (tek) tam sayı bilgileriyle birinci öncülü test etmek.
a+ca+c ifadesi daima tektir.
Çift bir sayı ile tek bir sayının toplamı (a+c≡C¸+T≡Ta+c \equiv \text{Ç} + \text{T} \equiv \text{T}) her zaman tektir.
3
İkinci öncülü test etmek.
a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 ifadesi daima çifttir.
aa çift olduğundan karesi çift, bb ve cc tek olduğundan kareleri tektir. C¸+T+T≡C¸\text{Ç} + \text{T} + \text{T} \equiv \text{Ç} kuralından toplam daima çifttir.
4
Üçüncü öncülü test etmek.
ba+cb^a + c ifadesi her zaman çift olmayabilir, hatta bir tam sayı bile belirtmeyebilir.
aa çift bir tam sayıdır fakat negatif bir sayı da olabilir (örneğin a=−2a = -2). Bu durumda ba=b−2=1b2b^a = b^{-2} = \frac{1}{b^2} ifadesi rasyonel bir sayıdır ve teklik-çiftlik özelliği aranmaz.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda temel dört işlem kuralları ile üslü ifadelerde üssün negatif olma durumunun teklik-çiftlik üzerindeki etkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru