Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅(b+c)(a + b) \cdot (b + c)
ifadesinin bir çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅ca \cdot c
II. c⋅(a+b)c \cdot (a + b)
III. ac+ba^c + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Verilen bilgilere göre, (a+b)(b+c)(a+b)(b+c) çift ve (b+c)(b+c) tek olduğundan, (a+b)(a+b) toplamı kesinlikle çifttir. Buradan aa ve bb tam sayılarının aynı işaretli pariteye sahip olduğu (ikisi de tek veya ikisi de çift) sonucu çıkar. Diğer taraftan, (b+c)(b+c) tek sayı olduğu için bb ve cc farklı paritelere sahiptir. Bu ilişkilerden yola çıkarak aa ve cc sayılarının da farklı paritelere sahip olduğu bulunur; yani biri tek iken diğeri çift olmak zorundadır. Bu bilgiler ışığında: I. öncüldeki a⋅ca \cdot c ifadesinde çarpanlardan biri çift olduğundan sonuç daima çift tam sayıdır. II. öncüldeki c⋅(a+b)c \cdot (a+b) ifadesinde (a+b)(a+b) bir çift tam sayı olduğundan ve çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı daima çift olduğundan sonuç her zaman çifttir. Dolayısıyla, I ve II öncüllerini barındıran seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin çarpım ve toplam özelliklerini kullanarak (a + b) toplamının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
(a+b)(a + b) ifadesi çift tam sayıdır.
(a+b)⋅(b+c)(a + b) \cdot (b + c) çarpımı bir çift sayıdır ve çarpanlardan biri olan (b+c)(b + c) tek sayıdır. Çarpımın çift sayı olabilmesi için diğer çarpan olan (a+b)(a + b) ifadesinin kesinlikle çift sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin kendi aralarındaki teklik-çiftlik (parite) ilişkilerini incelemek.
aa ile bb aynı paritede, bb ile cc farklı paritede, dolayısıyla aa ile cc farklı paritededir.
(a+b)(a + b) çift olduğundan aa ve bb ya ikisi de tek ya da ikisi de çifttir. (b+c)(b + c) tek olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu iki durum birleştirildiğinde, aa ve cc sayılarından birinin tek, diğerinin ise kesinlikle çift olduğu anlaşılır.
3
Elde edilen bilgilere göre öncülleri tek tek değerlendirmek.
I. öncül (a⋅ca \cdot c) daima çift, II. öncül (c⋅(a+b)c \cdot (a + b)) daima çift, III. öncül (ac+ba^c + b) her zaman çift değildir.
I. aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları olan a⋅ca \cdot c her zaman çifttir. II. (a+b)(a + b) çift bir tam sayı ve cc de bir tam sayı olduğundan, c⋅(a+b)c \cdot (a + b) çarpımı her zaman çifttir. III. cc negatif bir tam sayı olabileceğinden (örneğin c=−1c = -1, a=2a = 2, b=3b = 3 için 2−1+3=3.52^{-1} + 3 = 3.5 rasyonel sayısı elde edilir), teklik veya çiftlikten bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda işlemler ve negatif üs durumunda teklik-çiftlik kavramının incelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru