Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+b)⋅cb(a + b) \cdot c^b
ifadesinin bir tek tam sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. (a+1)⋅(b+c)(a + 1) \cdot (b + c)
II. a⋅b⋅(c+1)a \cdot b \cdot (c + 1)
III. a+b⋅ca + b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

  1. Yalnız ICevap
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

Yalnız I
Verilen (a+b)⋅cb(a+b) \cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olması koşulunda, bb sayısının negatif tam sayı veya sıfır olabileceği unutulmamalıdır. Tüm olası durumlar analiz edildiğinde, (a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c) ifadesinin her durumda çift sayı sonuç verdiği görülür. Bu nedenle yalnızca birinci öncül her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen (a+b)⋅cb(a+b)\cdot c^b ifadesinin tek tam sayı olma koşullarını analiz etmek.
cbc^b ve a+ba+b çarpanlarının tek tam sayı olması gerektiği belirlenir ancak bb tam sayısının negatif ve sıfır değerleri dikkate alınır.
bb sayısının işareti ve değeri, taban cc ve üs bb arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini doğrudan etkiler.
2
bb tam sayısının pozitif, sıfır ve negatif olma durumlarını ayrı ayrı incelemek.
1) b>0b > 0 ise cc tek, aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
2) b=0b = 0 ise c0=1c^0 = 1 olup aa tek, bb çift (sıfır), cc ise herhangi bir tam sayıdır.
3) b<0b < 0 ise (b=−k,k>0b = -k, k > 0) ifadesi (a−k)/ck(a-k)/c^k şeklinde bir tek sayı belirtir. Eğer cc çift ise a−ka-k çift olmalıdır, yani aa ve bb aynı tekliğe/çiftliğe sahiptir. Eğer cc tek ise aa ve bb farklı tekliğe/çiftliğe sahiptir.
Değişkenlerin işaret ve değer sınırı belirtilmediği için tüm olası tam sayı senaryolarının belirlenmesi gerekir.
3
Birinci öncülü ((a+1)⋅(b+c)(a+1) \cdot (b+c)) her senaryo için değerlendirmek.
Tüm senaryolar analiz edildiğinde; cc tek ise aa ile bb farklı paritede olduğundan b+cb+c veya a+1a+1 ifadelerinden en az biri kesinlikle çifttir. cc çift ise, b=0b=0 durumunda aa tek olduğundan a+1a+1 çifttir; b<0b < 0 durumunda ise aa ve bb aynı paritede olacağından aa ve bb çift ise b+cb+c çift, aa ve bb tek ise a+1a+1 çifttir. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
Çarpım durumundaki bir ifadenin her durumda çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak.
4
İkinci ve üçüncü öncüller için aksi örnekler (tek sayı çıkaran durumlar) bulmak.
a=7a = 7, b=−1b = -1 ve c=2c = 2 tam sayıları için (7−1)⋅2−1=3(7-1) \cdot 2^{-1} = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için ikinci öncül 7⋅(−1)⋅3=−217 \cdot (-1) \cdot 3 = -21 (tek sayı) olur. a=3a = 3, b=0b = 0 ve c=2c = 2 tam sayıları için (3+0)⋅20=3(3+0) \cdot 2^0 = 3 (tek sayı) sağlanır. Bu değerler için üçüncü öncül 3+0⋅2=33 + 0 \cdot 2 = 3 (tek sayı) olur.
Diğer öncüllerin her zaman çift sayı olmadığını karşıt örneklerle kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayı özellikleri ile negatif ve sıfır üs durumlarının incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru