Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,
* a+ba + b
* b⋅cb \cdot c
sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

  1. A
    a+b+ca + b + c
  2. B
    a⋅b+ca \cdot b + c
  3. C
    a⋅c+ba \cdot c + b
  4. a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot cCevap
  5. E
    a+b⋅ca + b \cdot c

Cevap

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c
a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi b(a+c)b(a+c) şeklinde yazıldığında, bb sayısı çift ise çarpım çift olur. Eğer bb sayısı tek ise, diğer koşullardan ötürü hem aa hem de cc tek olmakta veya her ikisi de çift olmaktadır. Her iki durumda da a+ca+c toplamı çift olacağından, b(a+c)b(a+c) ifadesi her durumda çift bir sayı vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları analiz ederek olası durumları gruplandırma.
a+ba+b ve b⋅cb \cdot c ifadelerinden biri tek, diğeri çift sayıdır. Bu durum iki temel olasılık doğurur:
1. Durum: a+ba+b çift ve b⋅cb \cdot c tek sayı.
2. Durum: a+ba+b tek ve b⋅cb \cdot c çift sayı.
Soruda verilen öncüllerin tüm olası teklik-çiftlik kombinasyonlarını belirlemek gerekir.
2
1. Durumu (a+ba+b çift ve b⋅cb \cdot c tek) inceleme.
b⋅cb \cdot c tek ise hem bb hem de cc kesinlikle tek sayıdır. a+ba+b çift ve bb tek olduğundan, aa da tek sayı olmalıdır. Dolayısıyla bu durumda aa, bb ve cc sayılarının hepsi tek sayıdır.
Çarpımın tek olması durumundan yararlanarak bilinmeyenlerin paritelerini kesinleştirmek için.
3
2. Durumu (a+ba+b tek ve b⋅cb \cdot c çift) inceleme.
a+ba+b tek ise aa ile bb zıt paritededir. Buradan iki alt durum elde edilir:
* bb çift ise aa tek olmalıdır. bb çift olduğundan b⋅cb \cdot c ifadesi cc'nin değerinden bağımsız olarak çift sayı olur. Yani cc tek de çift de olabilir.
* bb tek ise aa çift olmalıdır. b⋅cb \cdot c çift olması gerektiğinden ve bb tek olduğundan cc çift sayı olmalıdır.
Diğer olası durum altındaki parite kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek için.
4
Elde edilen tüm parite durumlarını özetleme ve seçenekleri test etme.
Oluşan tüm durumlarda aa, bb ve cc pariteleri şöyledir:
1) aa tek, bb çift, cc tek
2) aa tek, bb çift, cc çift
3) aa çift, bb tek, cc çift
4) aa tek, bb tek, cc tek

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesi ortak paranteze alındığında b(a+c)b(a+c) elde edilir.
* bb çift ise (1. ve 2. durumlar), b(a+c)b(a+c) ifadesi çifttir.
* bb tek ise (3. ve 4. durumlar), aa ile cc aynı paritededir (ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir). Bu durumda a+ca+c toplamı her halükarda çift olacağından b(a+c)b(a+c) çarpımı yine çift sayı olur.
Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
Her dört durumda da kesinlikle çift sonuç veren tek cebirsel ifadeyi tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem ve Ortak Çarpan Parantezi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru