Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
xx, yy ve zz tam sayıları için
x2+y⋅zx^2 + y \cdot z
toplamı bir tek sayı,
y+zy + z
toplamı ise bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

  1. A
    xy+zx^y + z
  2. B
    y⋅z+xy \cdot z + x
  3. x+y+1x + y + 1Cevap
  4. D
    x+zx + z
  5. E
    (x+y)⋅z(x + y) \cdot z

Cevap

x+y+1x + y + 1 ifadesi
Doğru cevap olan x+y+1x + y + 1 ifadesi, yy ve zz tam sayılarının her ikisinin de çift olduğu durumda xx tek sayı olacağından tek+c¸ift+tek=c¸ift\text{tek} + \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} sonucunu verir; her ikisinin de tek sayı olduğu durumda ise xx çift sayı olacağından c¸ift+tek+tek=c¸ift\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} sonucunu verir. Her iki durumda da sonuç daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
y+zy + z toplamının çift sayı olmasından yola çıkarak yy ve zz değişkenlerinin durumlarını belirleme.
yy ve zz tam sayılarının ikisi de çift ya da ikisi de tek olmalıdır.
İki tam sayının toplamının çift sayı olabilmesi için bu sayıların paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
x2+y⋅zx^2 + y \cdot z ifadesinin tek sayı olma koşulunu kullanarak xx değişkeninin durumunu inceleme.
1. Durum: yy ve zz çift ise y⋅zy \cdot z çifttir. x2+c¸ift=tekx^2 + \text{çift} = \text{tek} olacağından x2x^2 ve dolayısıyla xx tek sayıdır.
2. Durum: yy ve zz tek ise y⋅zy \cdot z tektir. x2+tek=tekx^2 + \text{tek} = \text{tek} olacağından x2x^2 ve dolayısıyla xx çift sayıdır.
Tek ve çift sayılardaki çarpma ve toplama işlemlerinin özellikleri kullanılarak diğer değişkenin karakteri belirlenir.
3
Elde edilen iki durumu da seçeneklerdeki ifadelerde yerine yazarak her zaman çift sayı sonucunu veren ifadeyi saptama.
1. Durum için (xx tek, yy çift): x+y+1=tek+c¸ift+1=c¸iftx + y + 1 = \text{tek} + \text{çift} + 1 = \text{çift} olur.
2. Durum için (xx çift, yy tek): x+y+1=c¸ift+tek+1=c¸iftx + y + 1 = \text{çift} + \text{tek} + 1 = \text{çift} olur.
Her iki durumda da x+y+1x + y + 1 ifadesi daima bir çift tam sayıya eşittir.
Genel geçerliliği olan ifadenin bulunması için her iki olası senaryonun da çift sayı çıktısı üretmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Dört İşlem Özellikleri ve Değişken Çözümlemesi
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru