Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım
Elemanları tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri,
A={a∈Z:5<a2≤50}A = \{a \in \mathbb{Z} : 5 < a^2 \leq 50\}
B={b∈Z:∣b−2∣≤4}B = \{b \in \mathbb{Z} : |b - 2| \leq 4\}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan (a,b)(a, b) sıralı ikililerinden kaç tanesinde a⋅b≥0a \cdot b \geq 0 eşitsizliği sağlanır?

Cevap: 50 adet

Cevap

Koşulu sağlayan (a,b)(a, b) sıralı ikililerinin sayısı 50'dir.
Doğru yanıt 50'dir. A kümesinin eleman sayısı 10 (5 pozitif, 5 negatif) ve B kümesinin eleman sayısı 9 (6 pozitif, 2 negatif, 1 sıfır) olarak bulunur. a⋅b≥0a \cdot b \geq 0 koşulunu sağlayan durumlar: b=0b=0 için 10 adet (a,0)(a, 0) ikilisi; aa ve bb'nin her ikisinin de pozitif olduğu 5×6=305 \times 6 = 30 adet ikili; her ikisinin de negatif olduğu 5×2=105 \times 2 = 10 adet ikilidir. Toplamda 10+30+10=5010 + 30 + 10 = 50 farklı sıralı ikili elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
5<a2≤505 < a^2 \leq 50 eşitsizliğini sağlayan aa tam sayılarını bulma
A={−7,−6,−5,−4,−3,3,4,5,6,7}A = \{-7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7\} ve s(A)=10s(A) = 10
A kümesinin eleman sayısını ve pozitif/negatif elemanlarının dağılımını belirlemek için
2
∣b−2∣≤4|b - 2| \leq 4 eşitsizliğini sağlayan bb tam sayılarını bulma
B={−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} ve s(B)=9s(B) = 9
B kümesinin eleman sayısını, pozitif/negatif elemanlarını ve sıfır elemanını belirlemek için
3
a⋅b≥0a \cdot b \geq 0 koşulunu sağlayan ikilileri üç ayrı durumda (sıfır olma, pozitif olma ve negatif olma durumları) hesaplama
Sıfır olan 10 ikili, pozitif olan 30 ikili, negatif olan 10 ikili
Çarpımın sıfır veya sıfırdan büyük olması için bileşenlerin işaretlerinin aynı olması veya en az birinin sıfır olması gerektiğinden
4
Bulunan tüm durumlardaki ikili sayılarını toplama
50
Tüm olasılıkları birleştirerek toplam geçerli ikili sayısına ulaşmak için

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Sıralı İkililer
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru