A ve B sonlu kümeler olmak üzere, C \subseteq A ve D \subseteq B alt kümeleridir. s(A \tim… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$A$ ve $B$ sonlu kümeler olmak üzere, $C \subseteq A$ ve $D \subseteq B$ alt kümeleridir.

s(A \times B) = 360

s(C \times D) = 72

s((A \setminus C) \times (B \setminus D)) = 108

olduğuna göre, $s((A \setminus C) \times D) + s(C \times (B \setminus D))$ toplamının değeri kaçtır?

Cevap: 180

İstenen toplamın değeri 180'dir.

İstenen ifade düzenlendiğinde

s(A)s(D) + s(C)s(B) - 2s(C)s(D)

elde edilir. Verilen

s((A \setminus C) \times (B \setminus D)) = 108

eşitliği açıldığında

s(A)s(D) + s(C)s(B) = 324

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında doğru yanıt 180 olarak hesaplanır.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özelliğini kullanarak verilen eşitlikleri küme eleman sayıları cinsinden yazalım.

s(A) \cdot s(B) = 360

s(C) \cdot s(D) = 72

(s(A) - s(C)) \cdot (s(B) - s(D)) = 108

elde edilir.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Son eşitlikteki çarpım işlemini dağıtarak düzenleyelim.

s(A) \cdot s(B) - s(A) \cdot s(D) - s(C) \cdot s(B) + s(C) \cdot s(D) = 108

olur. Burada

s(A) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B)

ifadesine

T

diyelim. Bilinenleri yerine yazarsak:

360 - T + 72 = 108 \implies 432 - T = 108 \implies T = 324

bulunur.

Dağılma özelliğini kullanarak bilinen değerler yardımıyla bilinmeyen terimlerin toplamına ulaşmak.

Bizden istenen

s((A \setminus C) \times D) + s(C \times (B \setminus D))

toplamını düzenleyelim ve değerini hesaplayalım.

(s(A) - s(C)) \cdot s(D) + s(C) \cdot (s(B) - s(D)) = s(A) \cdot s(D) - s(C) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D)

olur. Bu ifadeyi düzenlediğimizde

s(A) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) - 2 \cdot s(C) \cdot s(D) = T - 2 \cdot s(C) \cdot s(D)

elde edilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak:

324 - 2 \cdot 72 = 324 - 144 = 180

bulunur.

İstenen ifadeyi, önceki adımlarda değerini hesapladığımız terimler cinsinden ifade ederek sonuca ulaşmak.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve küme işlemleriyle ilişkisi

Soru