Examkin

Kartezyen Çarpım

9 soru

Tüm türler9Çoktan seçmeli5Sayısal3Eşleştirme1
Soru 1Soru →
AA ve BB kümeleri için,
s(A∖B)=3s(A \setminus B) = 3
s(B∖A)=4s(B \setminus A) = 4
s(A∪B)=9s(A \cup B) = 9
olduğuna göre, (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Doğru cevap 26'dır. (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) kümesinin eleman sayısı, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısından (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) ortak kümesinin eleman sayısının çıkarılmasıyla hesaplanır.
Doğru cevap 26'dır. Verilen küme eleman sayılarından hareketle s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2 olarak bulunur. Buradan s(A)=5s(A) = 5 ve s(B)=6s(B) = 6 elde edilir. Toplam kartezyen çarpım eleman sayısı s(A×B)=30s(A \times B) = 30 iken, hem A×BA \times B hem de B×AB \times A kümesinde ortak bulunan elemanlar (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinin elemanlarıdır ve sayısı 2⋅2=42 \cdot 2 = 4'tür. Fark kümesinin eleman sayısı ise 30−4=2630 - 4 = 26 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak.
s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) bağıntısı kullanılarak iki kümenin kesişiminin eleman sayısı hesaplanır.
2
A ve B kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak.
s(A)=5s(A) = 5 ve s(B)=6s(B) = 6
Bir kümenin eleman sayısı, fark kümesi ile kesişim kümesinin eleman sayılarının toplamına eşittir.
3
A x B kartezyen çarpımının eleman sayısını bulmak.
s(A×B)=30s(A \times B) = 30
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımı ile bulunur: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).
4
İki kartezyen çarpım kümesinin ortak elemanlarının sayısını bulmak.
s((A×B)∩(B×A))=4s((A \times B) \cap (B \times A)) = 4
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) eşitliği gereği ortak sıralı ikililerin sayısı (s(A∩B))2=4(s(A \cap B))^2 = 4 olur.
5
Fark kümesinin eleman sayısını hesaplamak.
26
s((A×B)∖(B×A))=s(A×B)−s((A×B)∩(B×A))=30−4=26s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A)) = 30 - 4 = 26 işlemi ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ve kartezyen çarpımın küme işlemleriyle ilişkisi.
Soru 2Soru →
Analitik düzlemde,
A={x∈R:x2−4x≤0}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x \leq 0\}
B={y∈R:y2−6y+8≤0}B = \{y \in \mathbb{R} : y^2 - 6y + 8 \leq 0\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemdeki grafiği üzerinde alınan bir (x,y)(x,y) noktasının ∣x−y∣≤1|x - y| \leq 1 koşulunu sağladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

İstenen koşulu sağlayan bölgenin alanı 72\frac{7}{2} birimkaredir.
Kartezyen ��arpımın oluşturduğu dikdörtgen bölge ile ∣x−y∣≤1|x - y| \leq 1 şeridinin kesişim alanı, dikdörtgenin toplam alanından (88 birimkare), ��eridin dışında kalan iki bölgenin alanlarının (44 ve 050{}5 birimkare) çıkarılmasıyla 72\frac{7}{2} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerini tanımlayan eşitsizlikleri çözerek kümeleri aralık olarak ifade edin.
A=[0,4]A = [0, 4] ve B=[2,4]B = [2, 4] aralıkları elde edilir.
Kartezyen çarpımın sınırlarını belirlemek için küme elemanlarının hangi aralıklarda olduğunu bulmalıyız.
2
A×BA \times B kartezyen çarpım kümesini analitik düzlemde gösterin.
x∈[0,4]x \in [0, 4] ve y∈[2,4]y \in [2, 4] sınırlarına sahip, kenarları eksenlere paralel ve alanı 4×2=84 \times 2 = 8 birimkare olan bir dikdörtgen elde edilir.
Kartezyen çarpımın geometrik temsilini oluşturarak üzerinde çalışacağımız ana bölgeyi tanımlamak gerekir.
3
∣x−y∣≤1|x - y| \leq 1 mutlak değerli eşitsizliğini açarak sınır doğrularını belirleyin.
−1≤x−y≤1⇒x−1≤y≤x+1-1 \leq x - y \leq 1 \Rightarrow x - 1 \leq y \leq x + 1 eşitsizlik şeridi elde edilir. Sınır doğruları y=x−1y = x - 1 ve y=x+1y = x + 1 doğrularıdır.
Kartezyen çarpım bölgesinin hangi kısmının istenen koşulu sağladığını belirlemek amacıyla sınırları bulmalıyız.
4
Eşitsizlik şeridi ile dikdörtgenin kesişim bölgesinin alanını geometrik olarak veya integral yardımıyla hesaplayın.
Kesişim bölgesinin dışında kalan alanlar: Üstte kalan yamuk bölgenin alanı 44 birimkare, sağ altta kalan üçgen bölgenin alanı ise 050{}5 birimkaredir. Dikdörtgenin toplam alanından bu dış bölgelerin alanları çıkarıldığında 8−(4+05)=35=728 - (4 + 0{}5) = 3{}5 = \frac{7}{2} birimkare bulunur.
Kesişim bölgesinin doğrudan alanını bulmak yerine tümleyen alanları çıkarmak geometrik olarak daha pratiktir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemdeki geometrik gösterimi ve bu bölge üzerinde tanımlanan eşitsizliklerin kesişim alanlarının bulunması.
Soru 3Soru →
A={x∈N:−3x≥−9 ve x<5}A = \{x \in \mathbb{N} : -3x \geq -9 \text{ ve } x < 5\}
B={y∈Z:−1<y≤2}B = \{y \in \mathbb{Z} : -1 < y \leq 2\}

kümeleri veriliyor. Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 12'dir.
AA kümesindeki −3x≥−9-3x \geq -9 eşitsizliği her iki taraf −3-3'e bölünerek çözüldüğünde, negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve x≤3x \leq 3 elde edilir. x<5x < 5 koşuluyla birlikte x≤3x \leq 3 olur. x∈Nx \in \mathbb{N} olduğundan A={0,1,2,3}A = \{0, 1, 2, 3\} kümesi elde edilir ve s(A)=4s(A) = 4 olur. BB kümesi için −1<y≤2-1 < y \leq 2 koşulunu sağlayan yy tam sayıları B={0,1,2}B = \{0, 1, 2\} şeklindedir ve s(B)=3s(B) = 3 olur. Buradan A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı s(A×B)=s(A)⋅s(B)=4⋅3=12s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 4 \cdot 3 = 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek
A={0,1,2,3}A = \{0, 1, 2, 3\} ve s(A)=4s(A) = 4
−3x≥−9-3x \geq -9 eşitsizliğinde her iki taraf −3-3'e bölündüğünde negatif sayıya bölme kuralı gereği eşitsizlik yön değiştirir ve x≤3x \leq 3 olur. x<5x < 5 koşuluyla birleştirildiğinde yine x≤3x \leq 3 elde edilir. x∈Nx \in \mathbb{N} (doğal sayılar) olduğundan AA kümesi {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} elemanlarından oluşur.
2
B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek
B={0,1,2}B = \{0, 1, 2\} ve s(B)=3s(B) = 3
−1<y≤2-1 < y \leq 2 koşulunu sağlayan yy tam sayıları 0,1,20, 1, 2 değerleridir.
3
A x B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak
s(A×B)=12s(A \times B) = 12
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir: s(A×B)=s(A)⋅s(B)=4⋅3=12s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 4 \cdot 3 = 12.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

A={1,2}A = \{1, 2\}, B={3,4}B = \{3, 4\} ve C={2,3}C = \{2, 3\} kümeleri veriliyor. Buna göre, sol sütunda verilen kartezyen çarpım kümelerini sağ sütundaki eleman listeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

A×BA \times B kümesi
B×CB \times C kümesi
C×AC \times A kümesi

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

A×BA \times B kümesi {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}\{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} listesiyle, B×CB \times C kümesi {(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}\{(3,2), (3,3), (4,2), (4,3)\} listesiyle ve C×AC \times A kümesi {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}\{(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)\} listesiyle eşleşir.
Verilen her bir kartezyen çarpım kümesi için elemanlar, küme sırasına dikkat edilerek (birinci bileşen soldaki kümeden, ikinci bileşen sağdaki kümeden) doğru sıralı ikililerle eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını belirlemek
A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}
Kartezyen çarpım tanımı gereği, birinci bileşen AA kümesinin elemanlarından (11 veya 22), ikinci bileşen ise BB kümesinin elemanlarından (33 veya 44) seçilerek tüm olası sıralı ikililer yazılır.
2
B×CB \times C kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını belirlemek
B×C={(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}B \times C = \{(3,2), (3,3), (4,2), (4,3)\}
Kartezyen çarpım tanımı gereği, birinci bileşen BB kümesinin elemanlarından (33 veya 44), ikinci bileşen ise CC kümesinin elemanlarından (22 veya 33) seçilerek sıralı ikililer oluşturulur.
3
C×AC \times A kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını belirlemek
C×A={(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}C \times A = \{(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)\}
Kartezyen çarpım tanımı gereği, birinci bileşen CC kümesinin elemanlarından (22 veya 33), ikinci bileşen ise AA kümesinin elemanlarından (11 veya 22) seçilerek sıralı ikililer yazılır.

Anahtar Kavram

İki kümenin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni birinci kümeden ve ikinci bileşeni ikinci kümeden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir.
Soru 5Soru →

AA ve BB sonlu kümeler olmak üzere, C⊆AC \subseteq A ve D⊆BD \subseteq B alt kümeleridir.

s(A×B)=360s(A \times B) = 360
s(C×D)=72s(C \times D) = 72
s((A∖C)×(B∖D))=108s((A \setminus C) \times (B \setminus D)) = 108

olduğuna göre, s((A∖C)×D)+s(C×(B∖D))s((A \setminus C) \times D) + s(C \times (B \setminus D)) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

İstenen toplamın değeri 180'dir.
İstenen ifade düzenlendiğinde s(A)s(D)+s(C)s(B)−2s(C)s(D)s(A)s(D) + s(C)s(B) - 2s(C)s(D) elde edilir. Verilen s((A∖C)×(B∖D))=108s((A \setminus C) \times (B \setminus D)) = 108 eşitliği açıldığında s(A)s(D)+s(C)s(B)=324s(A)s(D) + s(C)s(B) = 324 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında doğru yanıt 180 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı özelliğini kullanarak verilen eşitlikleri küme eleman sayıları cinsinden yazalım.
s(A)⋅s(B)=360s(A) \cdot s(B) = 360, s(C)⋅s(D)=72s(C) \cdot s(D) = 72 ve (s(A)−s(C))⋅(s(B)−s(D))=108(s(A) - s(C)) \cdot (s(B) - s(D)) = 108 elde edilir.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Son eşitlikteki çarpım işlemini dağıtarak düzenleyelim.
s(A)⋅s(B)−s(A)⋅s(D)−s(C)⋅s(B)+s(C)⋅s(D)=108s(A) \cdot s(B) - s(A) \cdot s(D) - s(C) \cdot s(B) + s(C) \cdot s(D) = 108 olur. Burada s(A)⋅s(D)+s(C)⋅s(B)s(A) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) ifadesine TT diyelim. Bilinenleri yerine yazarsak: 360−T+72=108  ⟹  432−T=108  ⟹  T=324360 - T + 72 = 108 \implies 432 - T = 108 \implies T = 324 bulunur.
Dağılma özelliğini kullanarak bilinen değerler yardımıyla bilinmeyen terimlerin toplamına ulaşmak.
3
Bizden istenen s((A∖C)×D)+s(C×(B∖D))s((A \setminus C) \times D) + s(C \times (B \setminus D)) toplamını düzenleyelim ve değerini hesaplayalım.
(s(A)−s(C))⋅s(D)+s(C)⋅(s(B)−s(D))=s(A)⋅s(D)−s(C)⋅s(D)+s(C)⋅s(B)−s(C)⋅s(D)(s(A) - s(C)) \cdot s(D) + s(C) \cdot (s(B) - s(D)) = s(A) \cdot s(D) - s(C) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) - s(C) \cdot s(D) olur. Bu ifadeyi düzenlediğimizde s(A)⋅s(D)+s(C)⋅s(B)−2⋅s(C)⋅s(D)=T−2⋅s(C)⋅s(D)s(A) \cdot s(D) + s(C) \cdot s(B) - 2 \cdot s(C) \cdot s(D) = T - 2 \cdot s(C) \cdot s(D) elde edilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak: 324−2⋅72=324−144=180324 - 2 \cdot 72 = 324 - 144 = 180 bulunur.
İstenen ifadeyi, önceki adımlarda değerini hesapladığımız terimler cinsinden ifade ederek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve küme işlemleriyle ilişkisi
Soru 6Soru →
Analitik düzlemde,
A={x∈R:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \leq 3\}
B={y∈R:∣y−4∣≤2}B = \{y \in \mathbb{R} : |y - 4| \leq 2\}
kümeleri tanımlanıyor. Ayrıca,
C={x∈Z:−3<x≤3}C = \{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 3\}
D={y∈Z:1<y≤7}D = \{y \in \mathbb{Z} : 1 < y \leq 7\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(C×D)(A \times B) \cap (C \times D) kümesinin eleman sayısı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kesişim kümesinin eleman sayısı 30'dur.
Kesişim kümesinin eleman sayısı, (A∩C)×(B∩D)(A \cap C) \times (B \cap D) kartezyen çarpımının eleman sayısı olan 30'dur. A∩CA \cap C kümesi 6 elemanlı, B∩DB \cap D kümesi ise 5 elemanlıdır (çünkü 7∉B7 \notin B). Dolayısıyla 6×5=306 \times 5 = 30 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B kümelerinin sınırlarını mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek belirlemek.
A=[−2,4]A = [-2, 4] ve B=[2,6]B = [2, 6] olarak bulunur.
Kartezyen çarpımın bileşenlerinin hangi reel sayı aralıklarında olduğunu bulmak için.
2
C ve D kümelerinin tam sayı elemanlarını liste yöntemiyle yazmak.
C={−2,−1,0,1,2,3}C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} ve D={2,3,4,5,6,7}D = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} olarak bulunur.
Kesişim işlemlerinde kullanılacak elemanları açıkça görmek için.
3
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini uygulamak.
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) eşitliğini elde etmek.
İki kartezyen çarpımın kesişimini daha kolay hesaplanabilir iki kümenin kesişiminin kartezyen çarpımına dönüştürmek için.
4
A ile C'nin ve B ile D'nin kesişim kümelerini bulmak.
A∩C={−2,−1,0,1,2,3}A \cap C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(A∩C)=6s(A \cap C) = 6) ve B∩D={2,3,4,5,6}B \cap D = \{2, 3, 4, 5, 6\} (s(B∩D)=5s(B \cap D) = 5) olarak bulunur.
Bileşen kümelerin eleman sayılarını bulmak için.
5
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygulayarak sonucu hesaplamak.
s((A∩C)×(B∩D))=6×5=30s((A \cap C) \times (B \cap D)) = 6 \times 5 = 30 olarak bulunur.
Kesişim kümesinin toplam eleman sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımların kesişim özelliği ve sayı kümeleriyle aralıkların kesişimi.
Soru 7Soru →
A, B ve C kümeleri,
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3\}
B={x∈N:x<6}B = \{x \in \mathbb{N} : x < 6\}
C={x∈Z:x2−4x<0}C = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 4x < 0\}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (A×C)∩(B×B)(A \times C) \cap (B \times B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Doğru cevap 18 elemanlı kümedir.
Doğru yanıt olan 18 sayısı, (A×C)∩(B×B)=(A∩B)×(C∩B)(A \times C) \cap (B \times B) = (A \cap B) \times (C \cap B) özelliğinden yararlanılarak, s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6 ve s(C∩B)=3s(C \cap B) = 3 değerlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için mutlak değerli eşitsizliği çözeriz.
−3≤x−2≤3  ⟹  −1≤x≤5-3 \leq x - 2 \leq 3 \implies -1 \leq x \leq 5 elde edilir. Buradan A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} olur.
AA kümesinin eleman sayısını ve hangi tam sayılardan oluştuğunu belirlemek.
2
BB kümesinin elemanlarını doğal sayılar kümesinde tanımlı olduğu koşula göre listeleriz.
x∈Nx \in \mathbb{N} ve x<6x < 6 olduğundan B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} olur.
Doğal sayılar kümesinin sıfırı da içerdiğini dikkate alarak BB kümesini doğru oluşturmak.
3
CC kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2−4x<0  ⟹  x(x−4)<0  ⟹  0<x<4x^2 - 4x < 0 \implies x(x-4) < 0 \implies 0 < x < 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar C={1,2,3}C = \{1, 2, 3\} şeklindedir.
CC kümesinin elemanlarını doğru sınır değerleriyle belirlemek.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak (A×C)∩(B×B)(A \times C) \cap (B \times B) ifadesini basitleştiririz.
(A×C)∩(B×B)=(A∩B)×(C∩B)(A \times C) \cap (B \times B) = (A \cap B) \times (C \cap B) eşitliği geçerlidir.
Kartezyen çarpım işlemlerini daha kolay ve hızlı yapabilmek.
5
A∩BA \cap B ve C∩BC \cap B kesişim kümelerini ve eleman sayılarını buluruz.
A∩B={0,1,2,3,4,5}  ⟹  s(A∩B)=6A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \implies s(A \cap B) = 6 ve C∩B={1,2,3}  ⟹  s(C∩B)=3C \cap B = \{1, 2, 3\} \implies s(C \cap B) = 3 olur.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç duyarız.
6
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayarak sonucu hesaplarız.
s((A∩B)×(C∩B))=s(A∩B)×s(C∩B)=6×3=18s((A \cap B) \times (C \cap B)) = s(A \cap B) \times s(C \cap B) = 6 \times 3 = 18 bulunur.
İstenen kümenin eleman sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliğini kullanarak eleman sayısı bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →
AA ve BB tam sayı kümeleri olmak üzere,
A={x∈Z:−3≤x<2}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x < 2\}
B={y∈Z:y2−y−6≤0}B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 - y - 6 \leq 0\}
kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, C=A∩BC = A \cap B ve D=A∪BD = A \cup B olmak üzere, (A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 6'dır.
Bir (x,y)(x, y) sıralı ikilisinin (A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) kümesinde bulunması için (x,y)∈(A×B)(x, y) \in (A \times B) ve (x,y)∉(C×D)(x, y) \notin (C \times D) olmalıdır. y∈By \in B olduğu sürece D=A∪BD = A \cup B tanımı gereği y∈Dy \in D ifadesi her zaman doğrudur. Bu durumda, elemanın C×DC \times D kümesinde yer almaması ancak x∉Cx \notin C olmasıyla mümkündür. x∈Ax \in A ve x∉Cx \notin C koşulu x∈A∖Cx \in A \setminus C anlamına gelir. A∖C=A∖(A∩B)=A∖B={−3}A \setminus C = A \setminus (A \cap B) = A \setminus B = \{-3\}'tür. x=−3x = -3 için yy elemanı BB kümesinin tüm elemanları (6 adet) olabileceğinden, kümenin eleman sayısı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
AA k��mesinin elemanlarını belirleme
A={−3,−2,−1,0,1}A = \{-3, -2, -1, 0, 1\} ve s(A)=5s(A) = 5
−3≤x<2-3 \leq x < 2 aralığındaki tam sayılar listelenir.
2
BB kümesinin elemanlarını belirleme
y2−y−6≤0  ⟹  (y−3)(y+2)≤0  ⟹  −2≤y≤3y^2 - y - 6 \leq 0 \implies (y - 3)(y + 2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 3 olduğundan B={−2,−1,0,1,2,3}B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} ve s(B)=6s(B) = 6
İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak çözüm aralığındaki tam sayılar belirlenir.
3
C=A∩BC = A \cap B ve D=A∪BD = A \cup B kümelerini oluşturma
C={−2,−1,0,1}C = \{-2, -1, 0, 1\} ve D={−3,−2,−1,0,1,2,3}D = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}
AA ve BB kümelerinin kesişim ve birleşim işlemleri uygulanır.
4
(A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) kümesinin eleman sayısını hesaplama
(x,y)∈A×B(x, y) \in A \times B elemanlarından y∈B⊆Dy \in B \subseteq D olduğu için, bu elemanların C×DC \times D kümesinde yer almaması için tek koşul x∉Cx \notin C olmasıdır. x∈A∖C  ⟹  x∈{−3}x \in A \setminus C \implies x \in \{-3\} olur. Dolayısıyla x=−3x = -3 için yy değeri BB kümesinin herhangi bir elemanı olabilir. Bu durumda 1×s(B)=1×6=61 \times s(B) = 1 \times 6 = 6 eleman bulunur.
Kartezyen çarpımın fark kümesi tanımı ve eleman özellikleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri

Alternatif Yöntem

(A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) ifadesinde C=A∩BC = A \cap B ve D=A∪BD = A \cup B tanımları yerine yazıldığında, fark kümesinin elemanlarının birinci bileşeni A∖C=A∖(A∩B)=A∖B={−3}A \setminus C = A \setminus (A \cap B) = A \setminus B = \{-3\} kümesinden, ikinci bileşeni ise BB kümesinden seçilmelidir. Bu durum doğrudan {−3}×B\{-3\} \times B kartezyen çarpım kümesine karşılık gelir. Buradan eleman sayısı s({−3})×s(B)=1×6=6s(\{-3\}) \times s(B) = 1 \times 6 = 6 olarak kolayca bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →
Elemanları tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri,
A={a∈Z:5<a2≤50}A = \{a \in \mathbb{Z} : 5 < a^2 \leq 50\}
B={b∈Z:∣b−2∣≤4}B = \{b \in \mathbb{Z} : |b - 2| \leq 4\}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanları olan (a,b)(a, b) sıralı ikililerinden kaç tanesinde a⋅b≥0a \cdot b \geq 0 eşitsizliği sağlanır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Koşulu sağlayan (a,b)(a, b) sıralı ikililerinin sayısı 50'dir.
Doğru yanıt 50'dir. A kümesinin eleman sayısı 10 (5 pozitif, 5 negatif) ve B kümesinin eleman sayısı 9 (6 pozitif, 2 negatif, 1 sıfır) olarak bulunur. a⋅b≥0a \cdot b \geq 0 koşulunu sağlayan durumlar: b=0b=0 için 10 adet (a,0)(a, 0) ikilisi; aa ve bb'nin her ikisinin de pozitif olduğu 5×6=305 \times 6 = 30 adet ikili; her ikisinin de negatif olduğu 5×2=105 \times 2 = 10 adet ikilidir. Toplamda 10+30+10=5010 + 30 + 10 = 50 farklı sıralı ikili elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
5<a2≤505 < a^2 \leq 50 eşitsizliğini sağlayan aa tam sayılarını bulma
A={−7,−6,−5,−4,−3,3,4,5,6,7}A = \{-7, -6, -5, -4, -3, 3, 4, 5, 6, 7\} ve s(A)=10s(A) = 10
A kümesinin eleman sayısını ve pozitif/negatif elemanlarının dağılımını belirlemek için
2
∣b−2∣≤4|b - 2| \leq 4 eşitsizliğini sağlayan bb tam sayılarını bulma
B={−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} ve s(B)=9s(B) = 9
B kümesinin eleman sayısını, pozitif/negatif elemanlarını ve sıfır elemanını belirlemek için
3
a⋅b≥0a \cdot b \geq 0 koşulunu sağlayan ikilileri üç ayrı durumda (sıfır olma, pozitif olma ve negatif olma durumları) hesaplama
Sıfır olan 10 ikili, pozitif olan 30 ikili, negatif olan 10 ikili
Çarpımın sıfır veya sıfırdan büyük olması için bileşenlerin işaretlerinin aynı olması veya en az birinin sıfır olması gerektiğinden
4
Bulunan tüm durumlardaki ikili sayılarını toplama
50
Tüm olasılıkları birleştirerek toplam geçerli ikili sayısına ulaşmak için

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Sıralı İkililer
Tahmini Süre:2m 0s
Kartezyen Çarpım Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin