Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKartezyen Çarpım
Analitik düzlemde,
A={x∈R:x2−4x≤0}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x \leq 0\}
B={y∈R:y2−6y+8≤0}B = \{y \in \mathbb{R} : y^2 - 6y + 8 \leq 0\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemdeki grafiği üzerinde alınan bir (x,y)(x,y) noktasının ∣x−y∣≤1|x - y| \leq 1 koşulunu sağladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 72\frac{7}{2}Cevap
  4. D
    92\frac{9}{2}
  5. E
    152\frac{15}{2}

Cevap

İstenen koşulu sağlayan bölgenin alanı 72\frac{7}{2} birimkaredir.
Kartezyen ��arpımın oluşturduğu dikdörtgen bölge ile ∣x−y∣≤1|x - y| \leq 1 şeridinin kesişim alanı, dikdörtgenin toplam alanından (88 birimkare), ��eridin dışında kalan iki bölgenin alanlarının (44 ve 050{}5 birimkare) çıkarılmasıyla 72\frac{7}{2} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerini tanımlayan eşitsizlikleri çözerek kümeleri aralık olarak ifade edin.
A=[0,4]A = [0, 4] ve B=[2,4]B = [2, 4] aralıkları elde edilir.
Kartezyen çarpımın sınırlarını belirlemek için küme elemanlarının hangi aralıklarda olduğunu bulmalıyız.
2
A×BA \times B kartezyen çarpım kümesini analitik düzlemde gösterin.
x∈[0,4]x \in [0, 4] ve y∈[2,4]y \in [2, 4] sınırlarına sahip, kenarları eksenlere paralel ve alanı 4×2=84 \times 2 = 8 birimkare olan bir dikdörtgen elde edilir.
Kartezyen çarpımın geometrik temsilini oluşturarak üzerinde çalışacağımız ana bölgeyi tanımlamak gerekir.
3
∣x−y∣≤1|x - y| \leq 1 mutlak değerli eşitsizliğini açarak sınır doğrularını belirleyin.
−1≤x−y≤1⇒x−1≤y≤x+1-1 \leq x - y \leq 1 \Rightarrow x - 1 \leq y \leq x + 1 eşitsizlik şeridi elde edilir. Sınır doğruları y=x−1y = x - 1 ve y=x+1y = x + 1 doğrularıdır.
Kartezyen çarpım bölgesinin hangi kısmının istenen koşulu sağladığını belirlemek amacıyla sınırları bulmalıyız.
4
Eşitsizlik şeridi ile dikdörtgenin kesişim bölgesinin alanını geometrik olarak veya integral yardımıyla hesaplayın.
Kesişim bölgesinin dışında kalan alanlar: Üstte kalan yamuk bölgenin alanı 44 birimkare, sağ altta kalan üçgen bölgenin alanı ise 050{}5 birimkaredir. Dikdörtgenin toplam alanından bu dış bölgelerin alanları çıkarıldığında 8−(4+05)=35=728 - (4 + 0{}5) = 3{}5 = \frac{7}{2} birimkare bulunur.
Kesişim bölgesinin doğrudan alanını bulmak yerine tümleyen alanları çıkarmak geometrik olarak daha pratiktir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemdeki geometrik gösterimi ve bu bölge üzerinde tanımlanan eşitsizliklerin kesişim alanlarının bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru