Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Analitik düzlemde verilen
d1:(a−3)x+6y=12d_1: (a-3)x + 6y = 12
d2:2x+(a+1)y=12d_2: 2x + (a+1)y = 12
doğrularının ortak noktası bulunmadığına göre, aa kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    3
  3. C
    -2
  4. -3Cevap
  5. E
    -5

Cevap

Doğruların ortak noktasının bulunmaması için paralel olmaları gerekir ve bu durum -3 değeri ile sağlan��r.
İki doğrunun ortak noktasının olmaması, bu doğruların düzlemde paralel olması demektir. Bunun için x ve y katsayılarının oranları birbirine eşit olmalı ancak sabit terimlerin oranına eşit olmamalıdır. Bu koşul sadece -3 değeri için sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların ortak noktasının olmaması (paralel olmaları) için gereken katsayılar ilişkisi kurulur.
a−32=6a+1≠1212\frac{a-3}{2} = \frac{6}{a+1} \neq \frac{12}{12}
İki doğrunun paralel olması için x ve y katsayılarının oranları eşit olmalı, ancak bu oran sabit terimlerin oranından farklı olmalıdır.
2
Katsayılar oranının eşitliğinden elde edilen rasyonel denklem çözülür.
(a−3)(a+1)=12⇒a2−2a−15=0⇒(a−5)(a+3)=0(a-3)(a+1) = 12 \Rightarrow a^2 - 2a - 15 = 0 \Rightarrow (a-5)(a+3) = 0 buradan a=5a = 5 veya a=−3a = -3 bulunur.
Denklemin köklerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır.
3
Bulunan a değerlerinin sabit terimler oranıyla çelişip çelişmediği kontrol edilir.
a=5a = 5 için oranlar 22=66=1212=1\frac{2}{2} = \frac{6}{6} = \frac{12}{12} = 1 olur (çakışık doğrular, sonsuz çözüm). a=−3a = -3 için ise oranlar −62=6−2=−3≠1\frac{-6}{2} = \frac{6}{-2} = -3 \neq 1 olur (paralel doğrular, çözüm kümesi boş küme).
Çakışık olma durumunu eleyip yalnızca paralel olma durumunu (ortak nokta yok) sağlayan değeri belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesinin boş küme olması (doğruların paralel olması) koşulu.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Bu konudan daha fazla soru