Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. a+b+ca + b + c
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve III
Verilen a2⋅b+b⋅ca^2 \cdot b + b \cdot c ifadesi bb ortak parantezine alındığında b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) elde edilir. Bu çarpım tek sayı olduğundan, hem bb hem de a2+ca^2 + c tek sayı olmak zorundadır. a2a^2 ifadesinin teklik-çiftlik durumu aa ile aynı olduğundan, a+ca + c toplamı da tek sayıdır. Bir toplamın tek sayı olması, terimlerden birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Yani aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Bu bilgiler doğrultusunda öncüller incelendiğinde; I. öncüldeki a+b+ca + b + c ifadesi (a+c)+b(a + c) + b şeklinde düşünülebilir. Tek sayı olan a+ca + c ile tek sayı olan bb toplandığında sonuç çift sayı olur (Her zaman doğru). II. öncüldeki a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinde, aa ve cc sayılarından biri çift olduğundan a⋅ca \cdot c çarpımı çifttir. Çift bir sayıya tek olan bb eklendiğinde sonuç tek sayı olur (Her zaman yanlış). III. öncüldeki a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesinde, çarpanlardan biri (aa veya cc) çift olduğundan çarpım her zaman çift sayıdır (Her zaman doğru). Bu nedenle doğru öncüller I ve III'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine almak
b⋅(a2+c)b \cdot (a^2 + c) ifadesi elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik analizini daha kolay yapabilmek için.
2
Çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
bb tek sayıdır ve a2+ca^2 + c tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek
bb tek sayıdır. a2a^2 ile aa aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olduğundan, a2+ca^2 + c ifadesinin tek olması a+ca + c ifadesinin de tek olmasını gerektirir. Bu durumda aa ve cc sayılarından biri tek sayı iken diğeri çift sayıdır.
Toplamları tek olan iki tam sayıdan birinin çift, diğerinin tek olması gerektiği kuralından dolayı.
4
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. ifadede (a+c)(a + c) tek ve bb tek olduğundan toplamları çifttir. II. ifadede a⋅ca \cdot c çift (biri çift olduğundan) ve bb tek olduğundan toplamları tektir. III. ifadede aa veya cc sayılarından biri çift olduğundan çarpımları çifttir.
Her bir öncülün her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri, ortak paranteze alma ve toplama/çarpma işlemlerinin teklik-çiftlik üzerindeki etkileri.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru