Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

Bir çiçekçideki vazolar ve bu vazolara konulan çiçeklerin sayılar�� olan aa, bb ve cc pozitif tam sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* bb tane kırmızı vazonun her birinde aa tane gül ve cc tane karanfil bulunmaktadır. Bu vazolardaki toplam çiçek sayısı çift sayıdır.
* cc tane mavi vazonun her birinde aa tane gül ve bb tane karanfil bulunmaktadır. Bu vazolardaki toplam çiçek sayısı tek sayıdır.

Buna göre,
I. a+b+ca + b + c
II. ab+ca^b + c
III. bc+ab^c + a

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Verilen koşullardan cc ve aa sayılarının tek, bb sayısının ise çift olduğu kesin olarak bulunur. Bu durumda birinci öncüldeki toplamın sonucu ve ikinci öncüldeki üslü toplamın sonucu çift sayı çıkarken, üçüncü öncüldeki üslü toplam tek sayı çıkmaktadır. Dolayısıyla her zaman çift sayı olanlar birinci ve ikinci öncüllerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Kırmızı vazolardaki toplam çiçek sayısını cebirsel olarak ifade etme
b(a+c)b(a+c) ifadesinin çift sayı olduğu belirlenir.
Her bir kırmızı vazoda aa gül ve cc karanfil olmak üzere a+ca+c çiçek vardır. Toplam bb vazo olduğundan toplam çiçek sayısı b(a+c)b(a+c) olur.
2
Mavi vazolardaki toplam çiçek sayısını cebirsel olarak ifade etme
c(a+b)c(a+b) ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.
Her bir mavi vazoda aa gül ve bb karanfil olmak üzere a+ba+b çiçek vardır. Toplam cc vazo olduğundan toplam çiçek sayısı c(a+b)c(a+b) olur.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etme
cc tek, aa tek ve bb çift sayı olarak bulunur.
c(a+b)c(a+b) tek sayı olduğundan her iki çarpan da tek olmalıdır. Buradan cc tek ve a+ba+b tek bulunur. a+ba+b tek ise biri tek diğeri çifttir. Eğer bb tek olsaydı aa çift olurdu, bu durumda a+ca+c tek olup b(a+c)b(a+c) tek çıkardı. Ancak bu durum b(a+c)b(a+c)'nin çift olmasıyla çelişir. Dolayısıyla bb çift ve aa tek olmalıdır.
4
Öncülleri teklik-çiftlik durumlarına göre değerlendirme
I ve II numaralı ifadelerin çift, III numaralı ifadenin ise tek sayı olduğu görülür.
I. a+b+c=tek+c¸ift+tek=c¸ifta+b+c = \text{tek}+\text{çift}+\text{tek} = \text{çift}. II. bb pozitif tam sayı olduğundan aba^b tektir, ab+c=tek+tek=c¸ifta^b+c = \text{tek}+\text{tek} = \text{çift}. III. cc pozitif tam sayı olduğundan bcb^c çifttir, bc+a=c¸ift+tek=tekb^c+a = \text{çift}+\text{tek} = \text{tek}.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda çarpma, toplama ve üs alma işlemlerinin özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru