a, b ve c sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere, a^b ve b^c ifadeleri de birer tam sayıd… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere, $a^b$ ve $b^c$ ifadeleri de birer tam sayıdır.

a^b + b^c

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

A
$a^c + b$
B
$b^a + c$
$a \cdot b$ Cevap
D
$c^b + a$
E
$a + c$

Cevap

Değişkenlerin çarpımı olan

a \cdot b

ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

Olası iki durumda da

a

b

tam sayılarından biri tek iken diğeri çifttir. Çarpanlardan en az biri çift sayı olduğundan, bu iki sayının çarpımı her zaman bir çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

a^b

b^c

ifadelerinin tam sayı olma koşullarını incelemek.

Negatif bir üssün sonucu tam sayı yapabilmesi için tabanın

\pm 1

olması gerekir. Dolayısıyla,

b < 0

ise

a \in \{-1, 1\}

(yani

a

tektir). Benzer şekilde,

c < 0

ise

b \in \{-1, 1\}

(yani

b

tektir).

Taban sıfırdan farklı bir tam sayı iken üssün negatif olması durumunda ifadenin tam sayı çıkması yalnızca tabanın çarpmaya göre tersinin de tam sayı olmasıyla mümkündür.

a^b + b^c

toplamının tek sayı olma durumlarını analiz etmek.

İki tam sayının toplamının tek olması için biri çift, diğeri tek olmalıdır.
- Durum 1:

a^b

çift ve

b^c

tek olsun.

a^b

çift ise

a

çift olmalıdır (bu durumda

b > 0

olur).

b^c

tek ise

b

tek olmalıdır.
- Durum 2:

a^b

tek ve

b^c

çift olsun.

b^c

çift ise

b

çift olmalıdır (bu durumda

c > 0

olur).

a^b

tek ise

a

tek olmalıdır.

Zıt teklik-çiftlik karakterindeki iki tam sayının toplamı her zaman tek sayıdır.

Elde edilen veriler doğrultusunda seçenekleri değerlendirmek.

Her iki durumda da

a

b

değişkenlerinden biri tek iken diğeri çifttir. Bu nedenle

a \cdot b

çarpımı her zaman bir çift sayıdır. Diğer seçeneklerdeki ifadeler ise negatif üs durumlarında rasyonel sayı belirtebileceğinden veya teklik-çiftlik durumu değişkenlik göstereceğinden her zaman çift sayı olmazlar.

Bir çift tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift bir tam sayıdır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda teklik ve çiftlik kavramlarında tabanın ve üssün tam sayı olma sınırları ile işaretlerinin incelenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru