Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

Bir tiyatro salonunda yan yana bulunan aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk boş kalmış, diğer cc tane sıranın her birinde ise aa adet koltuk boş kalmıştır.

Bu salondaki toplam boş koltuk sayısı tek bir sayı olduğuna göre,

I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. b⋅c+ab \cdot c + a
III. ba+cb^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

Verilen ifadelerden I, II ve III her zaman bir tek sayıdır.
Toplam boş koltuk sayısı olan a(b+c)a(b + c) ifadesi tek sayı olduğuna göre, aa tek sayı ve b+cb + c toplamı tek sayı olmalıdır. b+cb + c tek sayı olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Buna göre: I. öncüldeki a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi, bb ve cc sayılarının her iki durumunda da tek sayı verir. II. öncüldeki b⋅cb \cdot c ifadesi, çarpanlardan biri çift olduğundan daima çift olup tek sayı olan aa ile toplandığında sonuç daima tek sayıdır. III. öncüldeki bab^a ifadesinin üssü olan aa pozitif bir tam sayı olduğundan bab^a tabanla aynı teklik-çiftliktedir. Dolayısıyla ba+cb^a + c ifadesinin teklik-çiftliği b+cb + c ile aynıdır ve daima tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam boş koltuk sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Toplam boş koltuk sayısı a⋅b+c⋅a=a(b+c)a \cdot b + c \cdot a = a(b + c) şeklindedir.
Salonda aa tane sıranın her birinde bb koltuk ve cc tane sıranın her birinde aa koltuk boş olduğundan toplam boş koltuk sayısı bu iki grubun toplamına eşittir.
2
Toplam boş koltuk sayısının tek sayı olmasını kullanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını belirleyelim.
aa tek sayıdır ve b+cb + c tek sayıdır. Buradan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
İki tam sayının çarpımı tek ise çarpanların her ikisi de tek olmak zorundadır. İki tam sayının toplamı tek ise bu sayılardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
Birinci öncülü (a⋅b+ca \cdot b + c) inceleyelim.
bb tek ve cc çift ise Tek⋅Tek+C¸ift=Tek\text{Tek} \cdot \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olur. bb çift ve cc tek ise Tek⋅C¸ift+Tek=Tek\text{Tek} \cdot \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} olur. Dolayısıyla a⋅b+ca \cdot b + c daima tektir.
aa tek olduğundan a⋅ba \cdot b ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile aynıdır; bu ifadeye farklı teklik-çiftlik durumundaki cc eklendiğinde sonuç her iki durumda da tek olur.
4
İkinci öncülü (b⋅c+ab \cdot c + a) inceleyelim.
bb ve cc sayılarından biri kesinlikle çift olduğundan, b⋅cb \cdot c çarpımı daima çifttir. aa tek olduğundan, b⋅c+ab \cdot c + a toplamı daima tektir.
Çarpanlardan en az biri çift olan bir çarpımın sonucu çift sayıdır. Çift bir sayıya tek bir sayı eklendiğinde sonuç tek sayı olur.
5
Üçüncü öncülü (ba+cb^a + c) inceleyelim.
aa pozitif tek sayı olduğundan, bab^a ifadesinin teklik-çiftlik durumu taban olan bb ile aynıdır. Dolayısıyla ba+cb^a + c ifadesinin teklik-çiftliği b+cb + c ile aynı olup daima tektir.
Taban tam sayı ve üs pozitif tam sayı olduğunda, taban çift ise sonuç çift (b=0b=0 için 0a=00^a=0 çift), taban tek ise sonuç tektir. Bu durumda bab^a ifadesinin teklik-çiftlik durumu bb ile tamamen aynı kalır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru