A, B ve C kümeleri, A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3\} B = \{x \in \mathbb{N} : x <… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

A, B ve C kümeleri,

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \leq 3\}

B = \{x \in \mathbb{N} : x < 6\}

C = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 4x < 0\}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

(A \times C) \cap (B \times B)

kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Doğru cevap 18 elemanlı kümedir.

Doğru yanıt olan 18 sayısı,

(A \times C) \cap (B \times B) = (A \cap B) \times (C \cap B)

özelliğinden yararlanılarak,

s(A \cap B) = 6

s(C \cap B) = 3

değerlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

A

kümesinin elemanlarını belirlemek için mutlak değerli eşitsizliği çözeriz.

-3 \leq x - 2 \leq 3 \implies -1 \leq x \leq 5

elde edilir. Buradan

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olur.

A

kümesinin eleman sayısını ve hangi tam sayılardan oluştuğunu belirlemek.

B

kümesinin elemanlarını doğal sayılar kümesinde tanımlı olduğu koşula göre listeleriz.

x \in \mathbb{N}

x < 6

olduğundan

B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}

olur.

Doğal sayılar kümesinin sıfırı da içerdiğini dikkate alarak

B

kümesini doğru oluşturmak.

C

kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.

x^2 - 4x < 0 \implies x(x-4) < 0 \implies 0 < x < 4

elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar

C = \{1, 2, 3\}

şeklindedir.

C

kümesinin elemanlarını doğru sınır değerleriyle belirlemek.

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak

(A \times C) \cap (B \times B)

ifadesini basitleştiririz.

(A \times C) \cap (B \times B) = (A \cap B) \times (C \cap B)

eşitliği geçerlidir.

Kartezyen çarpım işlemlerini daha kolay ve hızlı yapabilmek.

A \cap B

C \cap B

kesişim kümelerini ve eleman sayılarını buluruz.

A \cap B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \implies s(A \cap B) = 6

C \cap B = \{1, 2, 3\} \implies s(C \cap B) = 3

olur.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını hesaplamak için bileşen kümelerin eleman sayılarına ihtiyaç duyarız.

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayarak sonucu hesaplarız.

s((A \cap B) \times (C \cap B)) = s(A \cap B) \times s(C \cap B) = 6 \times 3 = 18

bulunur.

İstenen kümenin eleman sayısına ulaşmak.

Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliğini kullanarak eleman sayısı bulma.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru